CHAPITRE XXVI. — CHOCS ET PERCUSSIONS
de projections «v, bv, cv. On potirra alors appliquer Tequation generate (2)
A (ma:') $x — A (my) oy — A(mV ) oz -h a ox -h b oy -+- c oz] = o
au deplacement reel qui suit les percussions ox = x\,dt, oy = y\dt, oz = z\ dt; car ce deplacement est compatible avee les liaisons existant au moment des percussions. On trouve ainsi, par un calcul analogue a celui du numero precedent,
^ mvo — mv ; = mw — 2 ( ax\ -+- by\ + cz\ ).
Comme a, b, c sont les projections d'une des percussions donnees P et y'\i z\ celles de la vites.se finale de son point d'application, on a
ax j -+- by\ -+- ■ cz\ — Ppi- On obtient ainsi ce theoreme :
Si Von introduit brusquement de noiwelles liaisons persistantes et
si Von applique en me me temps des percussions P au systeme, la force vive perdue est egale a la force vive due aux vitesses perdues, diminuee de la somme des doubles produits scalaires de chacune des
percussio/is P par la vitesse finale de son point d "application.
Lorsque toutes les liaisons qui ont lieu au moment des percussions ne persistent pas apres, on peut encore appliquer le theoreme precedent, a
condition de compter, parmi les percussions P, les percussions de liaison provenant des liaisons non persistantes ; on peut, en effet, supposer que les liaisons n'existent pas, pourvu qu'on tienne compte des percussions qui en proviennent.
Vrl\ . Theoreme de G. Robin. — Soit encore un systeme dans lequel on introduit brusquement de nouvelles liaisons persistantes en faisant
agir en raeme temps des percussions donnees P.
Parmi les valeurs en nombre infini que peuvent prendre les vitesses ///tales conformement aux liaisons, celles qiCelles prennent reellement rendent minimum la quantite
Tel est le theoreme de G. Robin ( Comptes rendus des seances de VAcade'mie des Sciences, t. GV, p. Gi ). Pour le demontrer appelons a, b, c,
les projections tie P; la quantite Q s'ecrit avec les notations prece'dentes
II faut montrer qu'en donnant aux projections x\ , y\ , s', de la vitesse finale de chaque point des variations quelconques ox\ , oy\, oz\ compatibles avec les liaisons, on a
Or
4- m (z'i — z'0 ) $z\ — a ox\ — b hy\ — c oz\]. Remarquons alors que l'equation generale des percussions (2) est
( 6 ) 2 [,n ( «i — x'o ) 5^ "+- "i(y\ — y'0 ') oy -h m(z\ — z'0 ) hz
— a ox — b By — c Bz] = o;
elle a lieu pour tous les deplacements virtuels compatibles avec les liaisons existant au moment du choc; mais, actuellement les liaisons etant persistantes, elle a lieu pour le deplacement reel final
(7) ox = x\ dt,, oy = y\ dt, oz = z\ dt.
Soient : x'x-\-Bx\, y\ -+■ oy\ , z\-t-oz\, d'autres valeurs possibles, compatibles avec les liaisons, des projections de la vitesse finale du point m; le deplacement correspondant
(8) ox = (x\ -+- b*x[) dt, by = (y\ ■+- Sy\) dt, &z == {z\ ■+- $z\) dt
est egalement compatible avec les liaisons.
Ecrivons les deux equations obtenus en remplacant successivement dans l'equation generale (6) ox, oy, Bz par ces deux systemes de valeurs (7) et (8). puis retranchons membre a membre les deux equations ainsi obtenues, nous aurons precisement l'equation a demontrer oO = o.
Remarque. — En retranchant de Q la quantite donnee 2^(aa;'0-h by0-h cz'o), on voit que le the'oreme de G. Robin consiste en ce que
mw — 2^^ P vi
est un minimum pour le deplacement reel: d'apres le theoreme precedent,
ce minimum est egal a la force vive perdue.
