CHAPITRE XXVI. — CHOCS ET PERCUSSIONS

On pourra consulter, au sujet de ce theoreme, deux Notes de A. Mayer inserees aux Berichte der Konigl. Sachsischen Gesellschaft der Wissenschuften zu Leipzig (3 juillet 1899).

v. — emploi des Equations de lagrange

DANS LA THfiORIE DU CHOC ET DES PERCUSSIONS.

o^2. Equations. — Dans le Messenger of Mathematics (t. IV, 1867) Niven a montre comment les equations de Lagrange peuvent etre employees utilement pour l'etude des percussions : la meme question a ete traitee par Routh {Rigid Dynamics, icr vol.). La methode suivie par ces auteurs peut etre perfectionnee, car les equations qu'ils donnent contiennent encore des percussions de liaison provenant des liaisons nouvelles introduites au moment de la percussion. Ces equations ne repondent done pas entierement au but poursuivi par Lagrange, qui est d'obtenir des equations ne contenant pas les forces de liaison. Voici comment on peut atteindre ce but.

Imaginons un systeme holonome en mouvement dans lequel les liaisons ont lieu sans frottement, et dont la configuration est definie par k parametres q{, q-2, q/c, geometriquement independants : la demi-force

vive T de ce systeme est une fonction du second degre des derivees q\, q'.2, . . ., q'k de qh q>, q/c par rapport au temps. A un instant donne t0, on introduit brusquement de nouvelles liaisons dans le systeme : le mouvement est alors trouble, et, dans un intervalle de temps tres court ty — to, les vitesses des differents points du systeme varient de quantites finies sans que le systeme change sensiblement de position : au point de vue analytique, les quantite's q\ , q'.,, q'^, qui definissent les vitesses, passent

brusquement, dans le temps tres court ti — t0, des valeurs .

a d'autres valeurs

tandis que les quantites qt, q2, q/c, qui definissent la position, ne

changent pas sensiblement de valeurs. Nous ne considerons que la premiere approximation, qui consiste a regarder Tintervalle t{ — t0 comme adgligeable et a supposer que les q\ changent subitement de valeurs sans que les qi changent. Nous admettons, en outre, que les nouvelles liaisons introduites au moment de la percussion sont aussi sans frottement; ces liaisons nouvelles peuvent d'ailleurs etre temporaires ou permanentes, e'est-a-dire qu'elles peuvent, suivant les cas, disparaitre apres la percus-

sion ou sul>sister; les liaisons primitives du systeme sont supposees permancntes, elles subsistent apres la percussion (*).

On peut toujours choisir les variables ql} q*, . . ., qk- de telle fa con que les liaisons nouvelles qui sont introduces brusquement et qui produisent le choc soient exprimees par les equations

(i) q,l+l=o, qn+2=o, . .., q/c=0,

n etant un certain entier moindre que k. En effet, les k — n liaisons nouvelles brusquement imposees au systeme holonome s1expriment par des relations de la forme

9i(qu ?2, o,

fi{qu q^ • • •> qk) = Of n-n{q.h q^ • • •> 9k) = q.

Si Ton fait un changement de variables, en prenant pour nouveaux

parametres, a la place de qn+i, qn+z> • • • > q/c, les quantites

rn+i= ?i(?t, fa, ■ • qk), r„H2 = ?2(<7i, qi, . • .,

les nouvelles liaisons imposees au systeme s'exprimeront evidemment par les relations

rn+i = o, r„+2 = o, . . . , rk = o.

C'est ce choix de variables que nous supposons realise, de sorte que les liaisons nouvelles soient exprimees par ( i ).

Apres le choc, les variables qn+i, • qk cesseront d'etre nulles si les liaisons introduites sont temporaires ; elles resteront nulles si ces liaisons sont permanentes.

Pour obtenir un deplacement virtuel du systeme compatible avec les liaisons qui ont lieu deja avant. le choc, il suffit de donner a qly q*, . . ., qu. des variations arbitraires Sg^, §q2, . .., oqk ; mais, si l'on veut de plus que le deplacement soit compatible avec les liaisons nouvelles brusquement introduites, il faudra, d'apres les equations (i), prendre

(2) 8^,^1=0, oqn+2=o, . .., §qk=o,

oqu 8^2? ... «j (>qn restant arbitraires.

(l) Nous nous bornons ici aux cas les plus simples. On trouvera une analyse detaillee du cas le plus general dans un Memoire insere dans le Journal de Mathe-

ma,tiques, 1896 (ier fascicule).

CHAP1TRE XXVI. — CHOCS ET PERCUSSIONS. 5l\l

Les equations du mouvement du systeme pendant le temps /i — t0 sont d'apres le principe de d'Alembert et la transformation de Lagrange, resumees par la formule

Si les oqi sont arbitrages, le second membre, qui represente la somme des travaux virtuels des forces appliquees au systeme, contient les forces de liaison provenant des liaisons nouvellement introduites; mais on eliminera ces dernieres forces de liaison en considerant un deplacement virtuel compatible avec toutes les liaisons qui ont lieu au moment de la percussion, c'est-a-dire en supposant oqi, §q<>, §qn arbitraires, oqn+i, oqn^.-2, . . ., oq/c nuls. Liquation (3) se decompose alors en les n suivantes

d/dT\ dT

ou ne figure! plus aucune force de liaison. Gomme les variations brusques de vitesses sont produites par les seules forces de liaison, qui sont devenues tres grandes pendant le temps tres court tY — to, les quantites Qi, Qi, • • • , Q/( qui proviennent uniquement des forces ordinaires directement appliquees, telles que la pesanteur, etc., restent finies pendant le temps

ti — 10 ; les quantites ~- restent egalement finies. Si done on multiplie

par dt les deux membres de la relation (4) et si l'on integre de t0 a t1: les

integrates provenant de - — et Qz- sont negligeables car ti — to est tres aqi

petit, et Ton obtient les n equations

lineaires et homogenes par rapport aux k differences

Cf \h— G^'Ooj (q'i)i — (q'o)o, (q'k)i — (q'k)o.

Dans ces equations ( 5), qi, q2, q/c ont les valeurs qui correspondent a Tinstant de la percussion, de sorte que qn-hi, 9k sont nuls;

mais il faut bien remarquer que les derivces q'n+i, q'n-hZ) •••3 q'k ne sont pas necessairement nulles ni avant, ni apres la percussion; elles seraient nulles apres dans le cas particulier ou les liaisons introduites seraient permanentes; alors les n equations lineaires (5) donneraient

Wi)i7 (£2)1 • • • j (q'n)u

cest-a-dire determinei aient completement 1'etat des vilesses apres la per-

cussion. En dehors de ce cas particulier, on n'a que n equations pour determiner k inconnues,

C^i)i3 Ws)i, • • • j Cs4>i;

il faudra alors. cornme dans le choc des corps semi-elastiques, faire des hypotheses particulieres sur ce qui se passe aprrs le choc.

Regle. — On peut resumer les equations (5) en disant qu'elles expriment la propriete suivante :

Les derivees partielles de T, par rapport aux derivees de ceux des parametres qui tie sont pas assujettis a s'aunuler au moment du choc, ont les memes valeurs avant et apres le choc.

Exemplk I. — Choc direct des deux spheres. — Soient deux spheres de rayons Ri et R> et de masses nix et m2 dont les centres se meuvent sur une droite fixe Ox. Les deux spheres sont supposees animees de mouvements de translation. Appelons Xi et x2 les abscisses des centres des deux spheres; la position du systeme depend des deux parametres xv et x% \ au moment du choc, une nouvelle liaison est brusquement introduite : cette liaison s'exprime par Fequation

Xn — X[ — Rj — R2= <>,

qui signifie que la distance des centres egale a la somme des rayons. Pour definir la position du systeme, nous prendrons les deux parametres

qx = X\. q*=xi — X\ — R| — R2,

de maniere que la liaison brusquement introduite s'exprime par q* = o. On a alors

T == ^ ( niix'f -h ni.^x'.? ) = ^ [ni\ q'f -+- m1(q\ — q'.2 )-]. La theorie precedente fournit alors l'equation unique

/ () T \ / <n \ <)q\ ) i \ Jq\

car qA ne s'annule pas au moment du choc, tandis que la variable q-2 est assujettie a s'annuler. On a, en faisant le calcul,

G'est la Tequation unique fournie par la theorie. Elle exprime que la somme des projections des quantites de mouvement sur Ox n'a pas varie.