CHAPITRE XXVI. — CHOCS ET PERCUSSIONS
Pour achever de determiner (q\)i et (#2)1, il faut faire des hypotheses, comme au n" 310.
Exkmple II. — Un disque circulaire homogene de masse M et de rayon R se meut dans un plan vertical xOy; a un instant t0, il heurte l'axe fixe 0.r et ne peut plus que rouler sur cet axe. Determiner sa vitesse apres le choc.
La position du systeme avant le choc depend de trois parametres, les coordonnt'-es x et y du centre du disque et Tangle 0 dont il a tourne dans le sens negatif de Oy vers Ox. Au moment du choc, deux liaisons nouvelles sont introduces :
i° Le disque reste en contact avec Ox, done on a
2° II roule sur Ox, done on a x — R6, en choisissant convenablement la position de Porigine. Nous prendrons comme parametres
gfi— #3 qi — y — q?> — x — R0>
de sorte que les liaisons introduites s'expriment par q-> = o, q?,= o. On a
M /l- designant le moment d'inertie du disque par rapport au centre. Avec les nouveaux parametres
Le seul parametre que les liaisons nouvelles n'assujettissent pas a etre nul est qx ; on a done 1'equation unique
ou
Mais reste nul, (q'3)i est done nul et Ton a, en revenant aux anciennes variables x, v. 0 et distinguant par les indices o et 1 les valeurs initiales et finales de x , y ', 0',
^ ( x\ — RO'o ) + x\ — = o, . /;'- H*
Cette formule donne la vitesse finale du centre dans le mouvement de roulement.
Par exemple, si le mouvement au moment du choc est tel que Rx'o ■+■ /f20'o = o,
le disrjue s'arrete.
523. Remarques sur les systemes non holonomes. — Les meme resultats de cidcul s'etendent aux systemes non holonomes. Cela tient an fait suivant :
Quoique les equations de Lagrange ne s'appliquent plus au mouvement fini de ce systeme, on peut ecrire les equations de leur mouvement sous a forme
SKS)-*-*
ou l\[ est une fonction des qi et q't (n° 464).
Si done on multiplie par dt \es deux membres de cette relation, et si Ton integre de t0 a ti} duree de la percussion, les integrates provenant de Ri et Q; sont negligeables, et Ton obtient encore les n equations
identiques aux equations (5). [Voir un article de MM. Beghin et Rousseau (Journal de Jordan, 1903).]
Exercices.
1. Une barre homogene se meut dans un plan fixe; a l'instant tQ, elle heurte un clou O plante dans le plan : trouver l'etat ulterieur des vitesses, en supposant que la barre reste en contact avec le clou sur lequel elle glisse sans frottement.
2. Un corps solide se meut dans l'espace : ii l'instant £0, on fixe brusquement un de ses points; trouver l'etat ulterieur des vitesses.
