I. — MOUVEMENT D UN CORPS SOLIDE AUTOUR D UN AXE FIXE

359. Equation du mouvement . — Un corps solide, mobile autour d un axe fixe, constitue un systeme a liaisons completes, car sa position depend d'un seul parametre, l'angle dont le corps a tourne^ a partir d'une position determined.

Si nous supposons que les liaisons sont realisees sans frottements, l'equation unique qui determine le mouvement du corps sera fournie par le theoreme des forces vives, car les travaux des forces de liaison sont alors nuls. Le corps est suppose" sollicite par des forces donnees F4, F2, .... Frt; nous appellerons X, Y, Z les projections d'une quelconque de ces forces sur les axes.

Prenons Taxe de rotation pour axe des z, el soient co la vitesse angulaire a l'inslant t et M la masse totale; la force vive du si steme est

^ mvl = ^ mr- o)- = w'2 £ mr- = M k- w'2 ;

hi force vive du corps est done egale au cane de la vitesse angulaire multiplie par le moment d'inertie par rapport a I' axe de rotation.

Le theoreme des forces vives s'exprime alors par l'equation

,mkll,)1 = v ( x dx ■+■ Y dy ■+■ Z dz ),

ou n'entrenl que les forces donnees. Si nous d^signons par r, 0, z les coordonuees semi-polaires d'un point y, z, du corps solide, on a

a; = /-cos0, ) =/'sin0; Appn.Lt — TraitS dc MScanique. it. 6

quand le corps lourne. 9 seul varie, et Ton a

eft at

da ? = — r sin 0 db = — ym dt, dy = /• cos 0^/0= XO) dt, dz = o;

I'equalion des forces vives devient alors

dtZ(x Y — /X),

Fig. 200.

qu'on peut ecrire, en eli'ectuaut la differentiation du premier

membre,

Mk^ = X(xY~yX).

On peut obtenir cette equation d'une autre facon, en partant du theoreme des moments cinetiques. Appliquons ce theoreme par rapport aO:: les moments des reactions de l'axe sont nuls7 et il nous vient

/ dy dx\ 1 m ( x y — r~ I

\ dt • dt j

1 mr- to = M A-'2 w.

En substituant, on retrouve bien l'equation donnee par le theoreme des force vives.