CHAPITRE XIX. — DYNAMIQUE DU CORPS SOLIDE
360. Reactions de l'axe. — Pour pouvoir calculer ces reactions, nous supposerons que 1'inimobilite de l'axe de rotation a ete" obtenue en fixant deux de ses points O et O".
Soienl Q'(X', Y', Z') et Q"(X", Y", Z") les reactions de l'axe en ces deux points {fig- 200). Nous pourrons consid^rer le corps comme libre, en ajoutant aux forces donnees ces forces Qf et Qv; appliquant alors an systeme le thcoreme des quantites de mouveinent projetees, nous aurons les trois equations suivantes :
Sm^? = XWX'-i- SX.
dV-
En appliquant ensuite le theoreme des moments des quantites de mouvement par rapport aux axes Ox et Oy, et appelant h le z du point O", il nous viendra les deux equations
2(*X— a?Z)+'AX*.
Ces deux dernieres equations d^terminent X" et Yn : les deux premieres du groupe precedent donnent X', Y' et la troisieme la somme Z'-f-Z" . 11 se presente ici la meme particularity que dans le cas de l'equilibre, particularity que nous avons etudi^e en Statique : en supposant le corps absolument rigide, on connait seulement 71 — Z": on ne pourrait determiner enlierement 71 et 71' qu'en tenant compte des deformations elastiques du solide (n° 110). Cette indelermination tient a ce que, le corps £tant rigide, on peut, sans changer l'etat du corps, appliquer aux deux points O et (> deux forces quelconqucs f et — f egales et directemenl opposees; les composantes 21 et Z" des reactions deviennent alors Z' -{- /', Z" — /'; l'unc d'elles peut, par un choix convenable de f, prendre une valeur arbitraire, z^ro par excmple.
Nous developperons les equations prdcedenles en remplacant les
v &z = "m dr-
~dr- ~
Z dP
dH
dt
derivees s(!Condes des coordonnees par leurs valeurs en fonction de m. Nous avons deja obtenu
dx dy dz
nous en deduisons
d2x do) d-y , do) d- z
el nos formules deviennent
do) ' v„
- w5Sm« r2my =X + X'+SX.
- w'-Sm/ -+- ^ Zmx = Y' + Y"+ S Y, (i) I o= Z'+ZVSZ,
to2 2 m r -s — I mxz = 2 ( r Z — z.Y) — h Y",
— co - S — ^ S = S(<z.X — xZ) -\- hX".
Les sommes qui entrent dans les formules precedentes varient avec le temps; Imx, par exemple, a pour valeur M;, £ etant l'abscisse du centre de gravite. Pour calculer les autres sommes, on imagine un sjsteme d'axes (O, x\ y', z') entraine avec le corps solide, Oz' coincidant avec 0-3, et xOx! etant egal a <p. On a pour formules de transformation
x — x cos o — y' sin 9, y — x' sin 9 +/ cos <p,
d'oii l'on deduit
2 mxz = cos cpS mx' z' — sin tpS my' z',
et les sommes qui entrent dans les seconds membres de ces dernieres 6quations sont independantes du temps.
Cas particulier. — Les formules se simplifient quand l'axe de rotation est axe principal d'inertie par rapport au centre de gravite.
On a en efFet, dans ce cas,
2 mx = o, Sjwj = 0, I, mxz = 0. 2 my z = o.
