CHAPITRE XXVII. — NOTIONS SUR LES MACHINES
Si done on appelle cp le rapport constant des forces homologues aux instants t et T, on a
Gette relation fondamentale dans la similitude en Mecanique montre que trois des quatre rapports de similitude A, t, cp peuvent etre pris arbitrairement, mais le quatrieme est alors determine par celte relation (3).
On voit immedialement, d'apres les principes de l'homogen£it6 (n° 76), que si, dans le premier systeme il existe une relation, independante du choix des unites, enlre des longueurs, des surfaces, des volumes, des masses, des vitesses, des accelerations, des forces, la meme relation a lieu entre les elements homologues du second systeme.
La relation exprimee par l'equation (3) a deja ete donnee par Newton dans les Philosophise naturalis principia mathematical (Livre II, Section I, Proposition XXXII).
Gette th^orie de la similitude et son application a Vetude d' une machine sur un modele reduit ont fait I'objet d'un M6moire de Joseph Bertrand intitule : Note sur la similitude en Mecanique {Journal de V Ecole Poly technique, XXXIP Cahier). On pourra egalement consulter, a ce sujet, un Cliapitre consacr6 a l'homog^neite et a la similitude dans l'Ouvrage de M. Pinchon : Introduction a Vetude des systemes de mesures usitees en Physique.
Etude d'une machine sur un modele reduit. — Le theoreme de Newton conduit souvent a des conclusions pratiques d'un haul intcret; on devra l'appliquer, en particulier, lorsqu'il s'agira d'etudier une invention mdcanique sur un petit modele, sans qu'on puisse songer a realiser cette invention en grandeur d'ex^cution.
Exemple I. — Imaginons, par exemple, que nous ayons un modele reduit d'un certain type de locomotive et designons par A le rapport de similitude geometrique de ce modele a la locomotive a construire; le rapport des aires est A2 et le rapport des volumes A'. Si Ton suppose que les mat^riaux sont identiques dans la machine a construire et dans le modele, le rapport \x des masses est 6gal a X3, et il en est, de meme pour le rapport des
forces dues a la pesanteur; on a done cp = X3. On <m conclut que le rapport z des temps, qui est y— j est egal a y/X, et Ton
en deduit, pour le rapport des vitesses, -,j ou \f"k. Ainsi les vitesses
du modele et de la machine doivent 4tre entre elles comme les racines carrees des dimensions.
Geci suppose que la similitude m^canique est realisce entre le modele et la machine; or, il faut remarquer que les forces de la pesanteur ne sont pas les seules forces appliquees; les pressions de la vapeur doivent etre, elles aussi, dans le rapport X3 et, comme elles sont proportionnelles aux surfaces, e'est-a-dire a A2, et aux tensions par unite d'aire, il faut que ces tensions soient dans le rapport X; ainsi la similitude exige que la tension de la vapeur dans le modele soit dans le rapport de similitude geometrique avec la tension dans la machine reelle.
La resistance de Pair, proportionnelle aux aires et sensiblement aux carres des vitesses, e'est-a-dire a A2(y/X)2 ou A3, satisfait a la condition cp — X3.
Les frottements de glisscment, proportionnels aux pressions, seront dans le rapport de ces pressions, e'est-a-dire dans le rapport X3.
Enfin, les resistances au roulement qui peuvent etre considerees dans le cas qui nous occupe, comme sensiblement proportionnelles aux pressions et en raison inverse du diametre des roues,
sont dans le rapport A:i ^ ou ).-. si la maliere des roues est la meme
pour le modele et pour la machine; la resistance au roulement est trop forte dans le modele.
II faudrait done, pour realiser la similitude, que les roues du modele soient faites avec une matiere dont la resistance au roulement soit, toutes choses egales d'ailleurs, inferieure a la resistance au roulement que donne la matiere des roues de la machine, le rapport de diminution elant le rapport de similitude geometrique X.
On voit ainsi que, pour avoir un modele quatre fois plus petit que la locomotive considerce et qui lui soit entierement comparable, il faut donner a ce modele une vitesse moitie moindre, require pour cela au quart la tension dela vapeur et faire les roues
