TIL
or
horizontal : les elements de la barre sont attires par un axe fixe Ox proportionnellement aux masses et aux distances.
Soient £, r, les coordonne'es du centre de gravite G de la barre AB, y l'or-
donnee mp d'un element de masse m; la force F agissant sur cet element est dirigee suivant mp et proportionnelle a cette distance et a m; done X = o, V = — f- my, 2 Y = — /2 1 my = — 1YI/2 r, . Les equations du rnouvement du centre de gravite donnent done
ft =°' dF=-f-^
(j = at 4- b, r, = A sin (ft -h a),
et, en • liminant f. on a pour la trajectoire du point G une equation de la forme
f[ = A sir.(/.£ ■+-
X et ;jl d6sigftant des constantes : cette courbe a la forme d'une sinusoi'de. Soient Gx', Gy' des axes paralleled aux axes fixes mene* par G; 0 Tangle
x'GH, ct /■ le rayon G/n compte positivement de G vers B, negative merit
de G vers A.
On a, en appelant y' les nouvelles coordonnees du point m,
x = x ', y = r, -¥~/yr, Y = — /2m(r, +/).
Le theoreme des moments cinetiques applique an mouvement relatif autour du centre de gravite donne
Ukttl = Z(x'\-yX) = -f*Zmx'(rl + y').
ou Mk- est le moment d'inertie de la barre par rapport au point G. Ln separant la derniere somme en deux parties, on voit que la premiere ^mx' r\ — r^Lmx' est nulle, car l'origine mobile est le centre de gravite; la deuxieme devient, en passant aux coordonnees polaires,
< #'==rcos0, j-'=rsin8,
Sm//'= S/wr*siii0 cos 6 = Mk- sin 6 cosO.
Done l'equation est, apres division par Mk2, (6) ^ =— /2 sin 0 cos6.
L'integration et la discussion de cette equation sont analogues a celles de ['equation du pendule simple, comme on le verrait en faisant 28 = ©.
En multipliant les deux membres de l'equation du mouvement par 2 -~
el cn integrant, on a
to designant la valeur de la vitesse angulaire pour 0 = 0. II y aura oscillation de part et d'autre de Qx' ou mouvement revolutif, suivant que to2 est plus petit ou plus grand que /-. Pour to2 = on a
|»=/cos9> «/=.log tang (1^1) ,
en comptant t a partir de Finstant ou 8 est nul. Alors la barre tend a se placer perpendiculairement a la direction Ox, mais elle n'arrive jamais a
cette position, car, quand 8 tend vers ^, I augmente indefiniment.
Les oscillations definies par Tequation (6) sont appeles quad rant ales par Tait et Thomson {Natural Philosophy, § 322).
Exemple II. — Mouvement d'un cercle homogene pesant, assujetti a raster dans un plan vertical et a raider sans glissement sur une droite
