CHAPITRE XIX. — DYNAMIQUE DU CORPS SOLIDE

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projetltent en T; enlin, ies sommets des deux cones se projettent sur ce meme plan en un point C, car tout IVppareil est symeti ique par rappori au plan £ 0£*.

Les plans tangents aux deux cones menes respectivement paries guides OD et OD' font, avec le plan horizontal, un angle constant et, par suite, sont fixes; ces deux plans sc coupent suivant une droite fixe Om. Pour que le double cone semble remontcr, quand on Tabandonne a lui-meme sans vitesse, il faut que O m soit situc au-dessous de O £ (comme dans la figure). Nous appellerons i Tangle £Om que fait cette droite avec l'horizon. La base des deux cones est un cercle constamment tangent a la droite Om; le centre C de cette base, qui est en meme temps le centre de gravite de l'appareil, decrit done une droite O'S parallele a Om.

Si 1'on considere la figure plane formee par la base mobile dans le plan £ O £,

le centre instantane de rotation est en T, puisque le solide roule sur les deux guides. La droite TC, dont nous designerons la longueur par r, est done normale a la trajectoire du point G, e'est-a-dire a la droite O'S. Si Ton appelle s la longueur O'C, 0 Tangle dont le double cone a tourne a parti r d'une position de'terminee. la vitesse angulaire de rotation du systeme

est — j et, comme les vit esses sont les memes que si le systeme tournait

avec cette vitesse angulaire autour du centre instantane T, on a pour la vitesse du point C

(0 V=^ = ,--, dsj=rdt;

pendanl le temps dt, \c point C vient en C, T en T'; les droites TC et T'C son I [)aralleles comme normales a la droite OS, CC est egal a ds; si par C on mene une parallele C'E a Ox, CE est egal a CT — C'T', e'est-a-dire a — c/r. Dans le triangle rectangle CC'R on a done, en appellant X Tangle

en C'j angle qui est constant comme etant egal a / Om,

(2) C77 = ds = r dft = — dr col X .

Ces conditions geometriques etant posees, appliquons le theoreme des forces vives. La force vive est, d'apres le theoreme de Koenig,

cn appelant MA2 le moment d'inertie des deux cones par rapport a leur axe;

on a done

^[t^2"^*2)^) J = — M^rfrsinicotX,

car la somme des travaux elementaires des forces de liai>on est nulle. et le travail elementaire du poids Mg est

M g CC sin i ou — Mgdr sin i cot X,

d'apres la relation (2).

Appelons /0 la valeur initiale de r et integrons les deux membres en sup-

posant que la vitesse initiale, e'est-a-dire la valeur initiale de ^ > soit nulle. Nous aurons

(dQ \ "' -j \ =2g ( r0 — r) sin i cot X ,

d'ou enfin, en remplacant <r/0 par la valeur — — cot a, tiree de (2), et designant par fx la constante v/2 g sin i tang a,

,M dr . Ik- -+- riidt=+ — 4/ ;

comme r va en diminuant a partir de /0 ainsi qu'il est evident geometriquement et qu'on le voit en remarquant que la quantite sous le radical doit etre positive, il faut prendre le signe — ; done enfin

t est ainsi exprime en /• par une integrale elliptique. Quand /• tend vers zero, t augmente indefiniment; le centre de gravite C tend done vers la position limite A sans jamais Tatteindre. D'apres les relations (2), on a

— = — dQ tang X, /• = /'o <?-G>«ng>. r

en appelant 0 Tangle dont le corps tourne a partir de la position initiale. On a ensuite, toujours d'apres (2),

s — 50=(r0 — r)cotX;