CHAP1TRE XIX. — DYNAMIQUE DU CORPS SOLIDE
cette derniere formule permet de transformer la relation (4) en une relation entre s et / : on aurait ainsi une formule delinissant le mouvement du centre de gravite C sur la droite O'S.
La vitesse V du centre de gravite est donnee par
y-=r-\di) =^sm,cotX—
comme on le voit, d'apres (3;. Cette vitesse s'annule dans la position initiale pour r == /"o, et, dans la position limite, pour r = o. Elle passe done, dans l'intervalle, par un maximum aise a calculer.
Le mouvement de la base des cones dans le plan £0£ s'obtient en faisant rouler la spirale logarithmique /• = r0 e 0tang* sur la droite Ox : oest ce qui resulte des equations precedentes. {Voir une Note de M. Mannheim, Cornptes rendus, 3 novembre 1890; une Note de M. de Saint-Germain, Comptes rendus, 1891, et un article de M. H. Fleury, Nouvelles Annates, juin i854.)
On trouvera aux exercices (10) Vindication de la solution d un probleme analogue, dans lequel le double cone serait remplace par une sphere.
Exemple IV. — Pendule elliptique. — On appelle ainsi le systeme de deux points pesants M, Mi, invariablement lies Tun a l'autre par une tige
yT /
Fig. 209.
sans masse, dont Tun, M, est assujetti a glisser sans frottement sur une droite horizontale Ox, et l'autre, Mi, a rester dans un plan' vertical xOy.
Nous prendrons pour axe des y une verticale dirigee vers le bas.
Les forces agissant sur M sont : son poids mg, la reaction normale de grandeur N de Ox et la tension de grandeur T de la tige MMt ; celles qui agissent sur Mi sont : la tension — T et le poids m^g. On peut diviser ces forces en forces interieures T, — T et forces exterieures N, mg, m\g : 011 encore <-n forces donndes /ti^y mtg, et forces de liaisons N, T, — T.
La configuration du systeme ne depend que de deux parametres : I'abscisse x du poinl \I et Tangle 0 de MMt avec la verticale; il suflit done de <l 11 x (; |iiations inde'pendantes des forces de liaison pour definir le mouvement ( Jig. 209 1.
io6
La premiere de ces equations nous sera fournie par le tlieoreme du mou veinent du centre de gravity G : la somme des projections des forces exterieures sur l'axe des x est nulle, done
(1) (ffl + m,)— = o;
le mouvement de la projection du centre de gravile G sur Ox est ainsi uniforme, ce qui donne la premiere equation
(2) mx-+- m% Xx = at ■+■ c'.
En appliquant le tlieoreme des forces \i\es. nous aurons. le- liaison^ etant independantes du temps et realisees sans frottemcnt.
, f/a - -4- ins v\ , d - mi g dyt ,
car le travail de rug est nul.
II est aise de verifier que les travaux des forces de liaisons ont une somme nulle : la force N reste normale au deplacement de son point d'application et la somme des travaux des tensions T, — T est nulle en vertu de cette condition que les points MMi doivent rester a une distance invariable. Si Ton integre 1 'equation precedente, on oblient
(3) mc3+ niivl = 2mlg(j'i-r- h)\
les equations (2) et (3) definissent le mouvement.
Traitons completement le cas 011 la vitesse initiale du centre de gravite est verticale ou nulle : l'equation (1) montre que ce point decrit une verticale; nous la prendrons pour axe des y, et nous aurons £ = o. Le mouvement est alors decrit geometriquement de la facon suivante : les points M. G, Mi restent a des distances invariables; deux d'entre eux, G et >1 . decrivent les droites rectangulaires Ox, Oy : le troisieme, Mi, se deplace done sur une ellipse ayant ces droites pour axes. En posant
on a
m -h m\ m -+- in ,
Les coordonnees des points M et Mi sont done
lm 1 Irn . n
x — sinU, y = o, Xi— sin'). v,= /cost).
in -+- mi m -+- ni\ ^
Pour ealeuler 0 en function de /. il suftit de porter ces valeurs dans I'equa lion ( 3 I, ot
„ dx- a dx i -h dyl
' = Hp' ,i= — an —
