CHAPITRE XIX. — DYNAMIQUE DU CORPS SOLIDE
On a ainsi, apres quelques reductions
I in -+■ ni\ sin
( m m\ ) ( cos 0 -+- k).
011 /, ■ = -• < )n tire de la / en fonction de 0 par une quadrature.
Les conditions initiates n'inlluent que sur la valeur de k. L'expression de ~ montre quil y a deux cas a considerer selon que /. est supe'ricur ou
infe'rieur a ■+■ 1 : il est d'ailleurs toujours superieur a — cosO,,. puisque ^
esl necessairement reel a 1'instant initial. Dans le premier cas, 0 peut yarier de o a 2- et le mobile M| deerit periodiquement l'ellipse tout entiere; dans le second cas, il elTectue des oscillations entre les positions correspondant au\ deux valeurs de 0 qui annulent cosO-h/i. Le cas sin- LTiilier 011 A est egal a 1 est celui 011 la tige MMi, partant d'une certaine position initiale, se de'place en tendant vers la verticale dans le sens des y negatifs, sans jamais l'atteindre. (Discussion analogue a celle du pendule simple.)
Revenons au cas general ou la projection de la vitesse du centre de graviti: sur l'axe des x est une constante differente de o, et cherchons le mouvement relatif par rapport a 1111 systeme d'axes xO'y' dont Fun, O'y', passe constamment par le centre de gravite G, systeme anime, par consequent, d un mouveinent de translation uniforme parallelement a Ox. Le mouvement relatif est le meme que si les axes y' O' x etaient fixes (n° 334) et le centre de gravite G anime d'une vitesse verticale; e'est le mouxement que nous venons d'etudier (Jig'. 209).
Pour terminer la question, il nous faut maintenant calculer les tensions T. — T de la tige, ainsi que la reaction N de l'axe fixe Ox.
L'une des equations du mouvement du point Mi est
( 1) mi -jp^ — — T cos 6 -f- m, § ;
mais nous avons
Liquation d« s forces \ ives nous a donne une equation de la forme
Vi = / cos 8,
dt
qui, p;ii differentiation par rapport a t, de\ient
. /'/oy d ^) A d-y{ .
en porta nt ces \aleurs de ( ^ J et ^7 dans ~~jp~' nous obtenons
d2Y\ /sineo'(6) , b ...
/ = 1-1-1 — / cos 69(8 ).
Par consequent, on a, d'apres Tequation (4),
T == mi / o(G) -+- mi - tangGs'(0)-h • y 2 / cos6
Gonnaissant T, on a immediatement N en ecrivant que le point M decrit l'axe Ox; on doit avoir
mg — N 4- T cos 0 = m —~ = o,
d'ou 1'on tire la valeur de N
N = mg h- T cos 6 .
Exemple V. — Probleme. — Trouver le mouvement da systeme constitue par deux barres homogenes pesantes AB, A'B', de longueurs egales et de meme masse, reliees par des fils sans masse de meme longueur, la droite AB etant assujettie a tourner autour de son milieu 0 et tout le systeme a se mouvoir dans un plan vertical fixe.
La position du systeme depend de deux parametres : l'inclinaison c de AB sur la verticale Ox et Tangle 0 de la droite 00', qui joint les milieux des deux barres avec cette verticale. Le systeme est soumis a Taction des deux barres, aux tensions de grandeurs T, T' des fils et a la reaction du point fixe O. Pour avoir le mouvement {fig. 2101. il nous faut deux equations independantes des forces de liaisons : elles nous seront donnees par le theoreme des forces vives et par le theoreme des moments cinetiques par rapport a la normale en 0 au plan de la figure,
Appliquons d'abord le theoreme des force vives. La longueur des lils etant snpposee invariable, les travaux des tensions s'annuleront deux a deux; le travail du poids de la barre AB ainsi que celui de la reaction de O sont nuls; quant au travail rlementaire du poids de A'B', il a pour valeur
— M gl sin6 dQ.
D'autre part, la force vive de la barre AB est M k- ' celle de A'B'
est egale a la force vive dans le mouvement autour du centre de gravite O' : MA'2 ' augmentee de la force vive de sa masse INI concentree en O ,
c'est-a-dire Ml- (^^j ' Nous aurons done
^[2M^('|)VM,g)2]=-M^si„0rf0.
