CHAPITRE XIX. — DYNAMIQUE DU CORPS SOLIDE. I

dans ce cas, il n'y a plus glissement, les lois du frottement de glissement a I'etat de mouvement ne soni done plus applicables ; on ad met alors qu'on pent appliquer encore les lois du frottement de glissement a Vetat de repos, e'est-a-dire que Ton pent regarder la reaction totale de B sur V comme formee d'une composante norniale Net d'une composante tangentielle F << /N. Nous supposons, bien entendu, dans ce paragraphe, que Ton neglige les frottements de roulement et de pivotemont; autrement, il faudrait ajouter les deux couples qui representent ces frottements;

3° 11 peut arriver exceptionnellement que le corps A soit terinim'1 par une pointe in par laquelle il glisse sur B, a la facon d'une

Fig. 212.

toupie qui glisse sur un plan. Dans ce cas, le corps A touche toujours B par le raerae point m, et, si la vitesse relative de m par rapport a B devient et reste nulle, on applique les lois du frottement a I'etat de repos, et le mouvement de A par rapport a B est le mouvement d'un corps solide autour d'un point fixe.

Dans cet expose nous considerons le coefficient de frottement au r epos f0 comme egal au coefficient de frottement/ a I'etat de mouvement, quoique. en reality, /() soit un peut superieur a f.

Nous montrerons plus loin, par un exemple (n° 375), que ces lois empiriques du frottement de glissement non seulement sont grossierement approchees au point de vue experimental, mais peuvent meme conduire a des contradictions mathematiques, si l'on veut les appliquer rigoureusement a des liaisons sans jeu possible, comme l a fait voir P. Painleve" dans ses Lecons sur le frottement ( Hermann, i 8<p ).

369. Discontinuities possibles dans les equations du mouvement. — ■ i" Soit V, la vitesse relative par rapport au corps B du

appfi.i.. — Traitc tie Mrcaniqtte [I. 8

poini materiel m <le \ qui est an contact. Tant (\ue Vr esl different de zero, il y a glisssement : si Vf= o, il y a roulernent el pivotemenl do A sur B et de B sur V. Supposons qu'n l'instant initial /„. V,. soit nul : il s'agit de savoir si, a l'instant t^> t{)) les deux corps vont glisser ou rouler et pivoter l'un sur l'autre. Pour cela, il faudra essayer les deux hypotheses :

i" On supposera, par exemple, qu'il y a roulernent et pivotement, c'est-a-dire que Vr reste nul : alors la reaction de B sur A se compose de la reaction normale de grandeur N et d une force langentielle de direction indetermine>, et de grandeur F</N, d'apres les lois que nous admettons. On mettra le probleme en equation dans ces hypotheses, et Ton calculera la reaction normale N et la reaction tangentielle F. Si la valeur trouvee pour F est moindre que /N, la supposition faite est exacle, le mouvement de A sur B est un mouvement de roulernent et de pivotement, et ce mouvement persistera jusqu'au moment ou F deviendra superieur a /N; a parlir de ce moment il y aura a la fois glissement, roulernent et pivotement, et les equations devront elre modifiers. Si, an contraire. la valeur trouvee pour F est, des le debut, sup^rieure a fN, le mouvement de roulernent el pivotement, sans glissement, est impossible; il y a, des le debut, un mouvement de glissement; il faut alors ecrire les equations du mouvement en appliquant les lois du frotlemenl de glissement a l'etat de mouvement. Ge mouvement de glissement persistera tant que les equations, supposes integrees, donneronl pour V, une valeur diire"rente de z£ro. Si, a un certain instant Texpression de V,. devient nulle, il s'agit de savoir si, a partir de cet instanl, V, reste ou non e"gal a zero. On se trouve alors de nouveau en face du probleme dont nous venons d'indiquer la solution.

2° Si le corps A touche B par une pointe m, et si, a un moment t(), la vitesse relalive Vr de m par rapport a B est nulle, il s'agit de savoir si, a l'instant t^>t0, V, reste nul ou devient different de zero, c'est-a-dire si la pointe m resle immobile ou non par rapport a B. Pour cela, on fera coinme dans le cas general pre"c6dent : on examinera successivement les deux hypotheses et Ton verra lacjuelle des deux doit ettv retenue.

3° Voici un autre genre de disconi inuife dans les equations,