CHAPITRE XIX. — DYNAM1QUE DU CORPS SOLIDE

qu'il importe de signaler. Qa'il y ait glissement ou roulement, il peui arriver qu'a un certain instant / l'expression algebrique de N, d'abord positive, s'annule puis devienne negative. Alors, si les deux corps A et B peuvent se s^parer, ils se separent a l'instant t. Si les deux corps ne peuvent pas se separer, la reaction normale change de sens. Comme la force de frottement est essentiellement positive, elle doit alors. puisque N est negatif, etre prise cgale a — fN dans le cas du glissement et inferieure a — /N dans le cas du roulemeni .

On doit done, a partir de l'instant t, modifier les Equations du mouvenient en changennt f en — f.. Si l'on ne prenait pas cette precaution, les equations, a partir de l'instant t, representeraient un mouvenient dans lcquel Faction tangentielle de B sur A tendrait a acroitre la vitesse relative par rapport a B du point m de A qui est au contact; ce qui est absurde.

S70. Exemple I. — Un disque circulaire homogene pesant situe dans un plan vertical (fig. 207) est place sur une droite fixe Ox inclinee a I'horizon d'un angle a et abandonne a lui-meme sans vitesse initiale. On suppose qu'il y a frottement. et Ton demande si le disque se met a rouler ou a glisser.

Admettons qu'il y ait roulement; on aura alors a traiter le second probleme du n" 366 : on trouvera, comme nous 1'avons vu, que la reaction normale de la droite sur le disque est N = Mucosa, et la reaction tangentielle 7 M g <in x. Polir que le roulement soit possible, il faut que cette reaction tangentielle soit moindre que /N, / etant le coefficient de frottement

M g sin a

/ M g cos a, tang a < 3/.

Si cette condition n'est pas remplie, le roulement ne peut avoir lieu sans glissement; le disque glisse tout en tournant.

T 1 a i tons le probleme dans cette nouvelle hypothese. La reaction de la droite O.r sur le disque a alors une composante normale N et une composante tangentielle F = /IN dirig«>e vers le haut. L'angle AGB = 0 et I'abscisse OA = x du centre de gravite {fig- 207) ne sont plus lies par aucune relation geometrique, puisqu^il n'y a pas roulement. Les equations du mouvoment. du centre de gravite donnent

M ^ = Mg <iu y. — /N, o =— ^COSa -+- N.

Il6 DYNAMIQUE DES SYSTEMES.

La reaction normale est done constante. Portant sa valeur N = cos a dans la premiere equation, on a

d- x »aii — = g(sina — /cosa),

valeur constante positive a cause de l'hypothese tanga>3/. Gomme le disque est suppose partir du repos, on a

x == 2— ( sin a — /cos a).

Appliquons ensuite le theoreme des moments au mouvement relatif autour du centre de gravite; nous avons

comme k-= ~> et que le disque part du repos, on en tire

0 /^2COsa K

Comme verification, appelons u la vitesse du point du disque qui se trouve en A ; cette vitesse est la resultante de la vitesse due a la translation du centre et de la vitesse due a la rotation autour du centre :

dx r> a?6

dt dt

D'apres les equations precedentes, on trouve

u — gt{ sin a — 3/cos a ).

Cette vitesse est done positive, a cause de la condition tanga >3/ : elle ne s'annule jamais; le glisement persiste indefiniment.

S'il n'y avait pas de frottement, le disque, abandonne a lui-meme sans

371. Exemple II. — Mouvement avec frottement d^un cerceau vertical sur une droite horizontale. — Considerons un cerceau liomogene, de rayon R et de masse M, place verticalement sur un plan horizontal et lance dans un plan vertical. II est evident, par raison de symetrie, que le cerceau reste dans le plan vertical initial que nous prenons pour plan de la figure xOy.

Soient :

C le centre du cerceau,

R le point par lequel il touche le plan horizontal < > a ■.