CHAPITRE XIX. — DYNAMIQUE DU CORPS SOLIDE
x l'abscisse OB du centre G,
6 Tangle dont le cerceau a tourne' a partir de sa position initiale dans Ie sens positif, de Ox vers Or.
Premiere phase. — Le centre C a une vitesse horizontale r dont la
valeur algebrique est ; en nieme temps le cerceau tourne autour de son
. . dQ . ,
centre avec une vitesse angulaire 10 = ^ ■ Le point du cerceau qui se
trouve en B a une vitesse u resultant de la vitesse v due a la translation
du centre et de la vitesse due a la rotation autour du centre
Fig. 2 1 3.
Supposons, pour fixer les idees, que, a Pinstant t = o, x soit nul et u positif : le point le plus bas du cerceau glisse alors sur Ox dans le sens positif Ox; la force de frottement est done dirigee en sens contraire. Les forces appliquees au corps solide sont le poids M^, la reaction norniale de grandeur N du sol et la force de frottement /N.
Le theoreme du mouvement du centre de gravite, projete sur Oy, donne
t>= N — Mg,
car la coordonnee y de C est constante. On a done N = Mg. Le theoreme du mouvement du centre de gravite projete sur Ox donne ensuite
Enfin, si Ton appelle MA- le moment d'inertie du cerceau par rapport a un axe mene par G perpendiculairement a son plan, le theoreme des moments cinetiques, applique au mouvement autour du centre de gravite, donne
car le moment de la force de frottement par rapport a C est — /Ml.
D'apres ces formules, le centre G est anime d'un mouvement rectiligne uniformement retarde. I, 'equation (2) donne, en effet,
(4) ^ ——fgt + ^0, *r= — ^ +
p0 designant la valeur initiale de p. La vitesse angulaire decroit aussi proportionnellement au temps .
u)0 designant la valeur initiale de la vitesse angulaire. L'expression (i) de u donne alors
(6) u=rT-fg^i-+.jri>jt-hu0l
u'0 etant egal a t>0-+- Rco0. Gette vitesse w decroit proportionnellement a elle s'annule au bout du temps
Deuxieme phase. — A ce moment le point du cerceau qui est au contact en B a une vitesse nulle; il s'agit alors de savoir si le mouvement ulterieur est un roulement ou un glissement. On peut prevoir que c'est un roulement, c'est-a-dire que la vitesse u du point qui est au contact reste nulle : en effet, si elle prenait une valeur differente de zero, si petite soit-elle, le systeme se retrouverait dans des conditions analogues aux conditions initiales, et la force de frottement de glissement J"N ramenerait la vitesse u a zero. Done, a partir de 1'instant T, il y a roulement .
Si Ton neglige le frottement de roulement, la reaction tangentielle F du plan horizontal doit alors suivre la loi du frottement de glissement dans l'etat de repos, c'est-a-dire doit etre une force inconnue moindre que/N. Nous allons le verifier en montrant que F == o. Gomme il y a roulement. letravaux de F, de N et du poids sont evidemment nuls, et le mouvement de roulement est uniforme. On a done
<Px 0
eU* ~ ' IF- ~ °'
et 1'equation du mouvement du centre de gravite M == — F montre
que F == o. Dans cette deuxieme phase du mouvement, ^ et ^ restent
done constants a partir de 1'instant T et egaux aux valeurs V et Q qu'ils possedent a cet instant, valeurs faciles a calculer par les formules ci-dessus; enfin, u reste constament nul, de sorte que
