CHAPITRE XIX. — DYNAMIQUE DU CORPS SOLIDE
Nous venous d'indiquer le moven de calculer en foriction des donnees initiales La \itesse finale du centre. On peut encore trouver <t priori cette vitesse si I on fait la remarque suivante.
J /o 1 i in i nation de /" entre les equations (2) et (3) donne
dr- K OF1 ~~ 0 i
d'ou, en integrant,
. , dx k* db fa
17) ~dt ~ R dt =i'°~ R Wo-
La quantite (7) reste clone constante pendant la premiere et la deuxienie phase du mouvement, car Fequation (7), etant oblenue par Felimination de f: a lieu quelle que soit. la loi de la reaction tangentielle. Dans la phase finale.
dt ~ ' dt R '
on a done, en portant dans (7),
Ev:'f- /,' . k- \ k*
d'ou V. Far exemple, si, r0 etant positif, on a p0 — ^- oj0 / o. le mouve-
ment final de roulement est tel que V < o; il est de sens contraire au mouvement de translation initiale de C.
C'est ce qu'il est facile de realiser en lancant le cerceau (('o!> o) en avant,
apres lui avoir imprime un fort mouvement de rotation | to0 > —pr ) 5 le
cerceau, apres s'etre d'abord eloigne, revient en roulant.
L'equation (7) signifie que, pendant toute la duree du mouvement, le point materiel du cerceau, qui se trouve a chaque instant au-dessus du k'2
centre, a une distance — j a une \itesse absolue constante. Si le cerceau
esl suffisamment mince pour pouvoir etre assimile a une circonference mat «:rielle, k est egal a R, et le point dont la vitesse est constante est le point materiel qui passe au point le plus haut A.
Exemple III. I ue echelle AB {fig. 214), de masse m, est appuxee Sur mi sol horizontal Ox et contrc un mur vertical Oy : la ligne mediane <lc Feclielle e-i supposee situee dans un plan perpendiculaire au mur et au >ol, plan que nous prenons pour j)lan de la figure. On imprime a 1'echelle une vitesse initiale tendant a rapprochcr le point 1> du poinl 0; trouver le mouvement en admettant qu'il y ait frottement sur le sol et le mur et que le coefficient de frottement aux deux extremity? soil Vunite (/== 1 )•
Remarquons tout d'abord que, le coefficient de frottement etant \7 lechelle est en equilibre dans toutes ses positions. En efTet. le centre de gravite G est au milieu de AB {fig. i\t\ ). Si l'on mene, en A et B, des droites AM et BM faisant respectivement avec les normales au sol et au mur des angles de 45" (angle de frottement dans le cas actuel), le point M est toujours a gauche de la verticale du point G, et, par suite, il y a equilibre, quelle que soit Tinclinaison de l'echelle (n° 193; il faut remarquer que G est actuellement le milieu de AB).
line fois Techelle lancee, les forces qui agissent sur elle sont : le poids mg applique en G, la reaction normale N du sol au point A et la force de frottement en A dirigee de A vers 0 et egale a N (car /= i); la reaction normale N' du mur sur le point B et la force de frottement IN' dirigee sui- \ant OB. Appelons v. Tangle de Pechelle avec le mur, 2 / sa longueur.
mk2 son moment d'inertie par rapport a un axe perpendiculaire au plan de la figure au point G. Les equations du mouvement du centre de gra- > ite ( ;, rj ) donnent
at- ai-
Yppliquons ensuite le theoreme des moments au mouvement relatif autour du centre de gravite C,. Ce mouvement relatif est une rotation de
vitesse angulaire ^ autour d'un axe mene par G perpendiculairement au
plan de la figure. On a done
(2) mk* = 1(1$ — X) sin a — /(\ — N')cosa,
comme on le voit immediatement en evaluant geometriquement les moments des forces par rapport au point G. Des equations (i) tirons N' — N et N'-h N ]>our les porter dans (2); il vient
