CHAPITRE XIX. — DYNAMIQUE DU CORPS SOLIDE
tions (8), que la valeur initiale de Rv est negative; lc produit e&'Ry esl done negatif et la relation (6) n'esl pas verifiee. Si, en supposant toujours .c'0 > o, on prend e = — [, on \oit, d'apres (9), que la valeur initiate de D esl negative, puis, par la premiere des equations (8), que la valeur initiate de Ry est positive; le produit ix'l\y est done encore negatif, et la condition (6) n est pas verifiee. Done, quand x'0 > o, les tbrmulcs montrent qu'aucun mouvement n'est compatible avec les lois empiriques.
Si, au eontraire, on suppose x' 0 < o, on voit de meme que les deux hypotheses s = + 1 et s = — 1 sont egalernent acccptables : les formules ne permettent pas de clioisir entre les deux mouvements correspondants.
Ges difficultes disparaissent quand /est suffisamment petit : parexemple, si, dans le probleme actuel /<l, la quantite D est positive quel que soit le signe de s. Alors, en cqnservanfrles memes conditions initiales,
on voit, par la premiere des formules (8), que R, est negatif. Si done x'0 > o, il faut prendre s = — 1, et, si x'0 < o, s = -+- 1. Dans les deux cas, les formules definissent 1111 mouvement unique a partir de Tinstant initial, et Ton trouvc ce mouvement pour une certaine periode de temps en integrant les equations (<S).
Si x'0 = o, on est en presence d'un probleme preliminaire : il faut voir si le point M reste immobile, e'est-a-dire si x' reste nul, ou si x', qui est nul pour t = t0, cesse d'etre nul aux instants suivants. Pour trancher la question, il faudrait faire successi vement les deux hypotheses suivantes, comme nous 1'avons explique en general au n° 369 : i° mettre le probleme en equations en supposant x' '= o, M immobile, et appliquant les lois du frottement a l'etat de repos; 2° supposer x' different de zero en appliquant les formules (8) et remarquant que, x partant de zero, sa derivee x" est positive si x devient positif et negative si x" devient negatif. On verra ensuite quelle est l'hypothese qui ne conduit pas a une contradiction :
e'est celle-la qu'il faut prendre. Par exemple, si 60 est tres voisin de — et 6'0
tres petit, x'0 etant nul, on voit que x restera nul; en effet, supposons ./■ > o, alors x" devrait etre positif ; mais, comme Kv < o, on doit prendre e = — i, et la troisieme des formules (8) donne #"<o; il y a done contradiction. De meme, supposons x' '< o, alors x" devrait etre negatif; mais, comme Rr<o, on doit prendre s = -h r, et la troisieme des formules (8) donne x"> o : il y a done encore contradiction. II ne reste done plus qu'a Supposer x' — o, x = x0, et a appliquer au point M la loi du frottement a l'etat de repos : le mouvement est alors pendulaire.
La place nous manque pour entrcr dans plus de details. Nous renverrons le lecteur aux Legons de P. Painleve pour une discussion complete. A la suite de ces recherches theoriques, des experiences sur le frottement ont ete entreprises par Chaumat {Comptes rendus, r1' semestre 190*3).
iPPKLL, — Traiti fie Micanique. 11. 9
DiflFerents anteurs ( 1 ) on L cherehes a lever ces contradictions en admettant que les liaisons presentent un certain jeu et en tenant compte de considerations d'elasticite. Mais, quand / est suffisamment grand, les mouvements obtenus avec des conditions initiales peuvent dependre precisement des hypotheses faites sur la nature des liaisons et le jeu qu'elle* presentent. tandis que, si f est suffisamment petit, cetle difficulte ne se prcsente pas.
