CHAPITRE XIX. — DYNAMIQUE DU CORPS SOLIDE. l

sivement. en projetant sur la verticale, 1'horizontale, et en prenant les moments par rapport an point A,,

p — M i -4- Nj = o, (1, — F', = o. ■> K¥\ — Mi 8 — N'i 3' = o.

Gomiue N't = N{ et F, = F(, on tire de la en e'liminant Mi

On trouverait de meme

p p 8 h- Na(8 -h 8')

2 ~ Hi

Fig. 220.

Oil a done enfin, d'apres les equations (2),

On pent ordinairement ne'gliger p devant P et reduire cette formule a

Si la piece glissait directement sur le sol, on trouverait que l;j force capable de lui imprinter un mouvemeht uniforme serait /'P, valeur notablernent superieure a la precedente.

379. 'Sur la tendance des systemes materiels a echapper au frot-

tement. — Dans beaucoup de cas, le mouvement d'un systeme a frottement se fait de facon que le travail du au frottement diminue de plus en plus en valeur absolue; en d'autres termes, le systeme cherche a echapper an frottement. C'est ainsi qu'un cerceau on une botile qui glissent linissent par roiiler, quiim- loupie arrondie laneee sur un plan horizontal se redresse de facon que la force de frottement soit appliquee a un parallele de plus en [>lus pel ii . etc.

Celte propria peut s'expli juer par les considerations generates suivantes ( 1 ) :

Imaginons un systfcme materiel pre'sentant les caracleres suivants, <|ui se trouvent realises dans la plupart des svstemes usuels.

i° Le systeme considere est d'abord assujetti a des liaisons queleonques, sanS frottement, independantes du temps ;

2«> II est soumis a des forces interieures derivant d un potentiel II qui est positif ou mil dans toutes les configurations possibles du systeme et qui devient nul dans une configuration speciale, constituant une configuration d'equilibre stable du systeme sous Taction des seules forces interieures ;

3° Le systeme comprend des corps solides ou des points qui glissent, a\ec frottement, les uns sur les autres, ou sur des corps solides fixes;

4° II est soumis enfin a d'autres forces exterieures derivant d'une fonction U, qui reste inferieure a une limite fix^L, pour toutes les positions du systeme dans lesquelles subsiste un contact an moins donnant lieu a frottement.

Le systeme etant ainsi defini, le theoreme des forces vives dortne I'equation

(1) ; d(T Hh D. — -V) = — fL Nt vx dt — /2 N2 v,clt—... —fp Np PP dt.

ou T est la demi-force vive, ou fly f%, . .., fp sont les coefficients de frottement, Nl3 JN2, N;, les valeurs absolues des reactions nor-

males, vu f>2, • • • • les valeurs des vitesses de glissement relatives des points materiels au contact dans les divers corps frottants associes deux a deux.

Si nous posons, pour abreger,

(2) ^=-/iNi^+/2 N2 v, + . . .+fpKp op,

nous voyons que cette quantite (I>, formee d'une somme de termes positifs ou nuls, est essentiellement positive et ne peut devenir nulle que si tous les termes qui la composent de\ iennent nuls a la foi*. L'equation des forces vives

(3) rf(T + n-U)=-$i«

montre que la quantite <1> a pour limite inferieure zero.

En efTet, il est absurde de supposer que 4> reste, dans la suite des temps, superieur a une limite fixe a superieure a zero : si Ton avait

(*) Appkll, Journal fur Matheiriatik, Bd 133, Heft, 2; Bulletin de la Sociele mathematique, t. XXXV, iq<>7, p. r 3 1 .