CHAP1TRE XIX. — DYNAMIQUE DU CORPS SOLIDE

on aurait. d'apres 1'equation ties forces vives,

d It

d'ou, en integrant .

C designant une conslante. Conirae U est limite, U < L, on en deduirait

Quand t nuginente indefiniment, le second membre prend des valeurs negatives de plus en plus grandes en valeur absolue. Done T-f-D devrait devenir de plus en ])lus petit : cette quantite', forme'e de deux termes positifs a l'instant initial, finirait done par devenir /mile au bout d'un temps 11 n i . A ce moment, n serait mil et la demi-force vive T egalement ; done toutes les vitesses s1 annuleraient au bout d'un temps fini dans la configuration speciale ou le potentiel II est nul.

Mais cette conclusion est contradictoire avec l'hypothese faite

car. toutes les vitesses devenant nulles, et les reactions etant suppose'es linies, <I> deviendrait nul et ne pourrait rester superieur a X.

II est ainsi demontre que, t croissant, la limite inferieure de $ est zero. II n'en rcsulte pas que <I> tende vers zero, mais on peut admettre que, dans les mouvements reguliers $ tend vers zero. Les divers termes

de (I> tendent done tous vers zero. Alors certaines des reactions Ni, N2, . . . Na, |>ar exemple, tendront vers zero; le systeme tendra a abandonner les liaisons avec frottement d'ou proviennent ces reactions. En meme temps les vitesses des autres points frottant pa-m? • • vp tendront vers zero

et les glissements correspondants tendront a disparaitre.

Le systeme, dans son ensemble, cherchera done bien a echapper au frottement.

\<»us avons adopte, pour plus de simplicite, les lois pratiques du frottement de glissemcnt. Mais les memes conclusions subsistent pourvu que l'on admette la loi gem-rale suivante : la force de frottement de glissemcnt d'un corps solidc A sur un corps solide B, rcgarde comme immobile, est une force F essentiellement positive, dirigee en sens contrairc de la vitcsse v du point en contact et s'annulant seulement si la reaction normale s'annule. En dirt , dans res conditions, le travail elementaire de F est — F v dt, expression essentiellement negative qui s'annule seulement quand la reaction normale ou la vite«,se d<- glis»(mient s'annulent.

Les rriemes considerations s'etcndent an frottement de roulement et au frottement de pivotement. Pour s'en assurer, il suffit de remarquer, pour le frottement de roulement, par exemple, que le travail elementaire effectue par les forces provenant du frottement de roulement est de la forme — K dt, K etant une quantite positive qui s'annule seulement si le roulement cesse ou si les deux corps qui roulent l'un sur l'autre se separcnt.

On trouvera un exemple assez general dans deux articles de M. Lecornu {Comptes rendus, 2e semestre, 1906, p. 11 32, et Bulletin de la Sr.ciete inathematique , t. XXXV, 1907, p. 3). On pourra consulter egalement sur ce sujet un article de M. E. Daniele {Nuovo Cimento, serie V, vol. XV, Juin 1908).

Des considerations analogues paraissent pouvoir etre appliquees aux resistances de milieu. ( Voir un article de P. Appell, p. 7 du Volume intitule : Horn mage a Louis Ollivier. Imprimerie Maretheux, 191 1.)

EXERCICES

1. Pendule a deux branches ( Metronome ). — On considere un pendule compose constitue par une tige liomogene mobile dans un plan vertical autour d'un axe O perpendiculaire au plan. La partie de cette tige situee au-dessous de O est tres courte et porte a son extremite un poids assez lourd qui constitue le poids moteur; la partie de la tige situee au-dessus de O est plus longue et porte un petit poids qui peut glisser et etre arrete en chaque point voulu et qui constitue le poids regulateur.

Etudier la duree des oscillations indefiniment petites suivant la position du poids regulateur.

[II suffit d'appliquer la theorie du pendule compose en remarquant que le moment d'inertie varie avec la position du poids regulateur. (Hirn, Comptes rendus, t. CV, p. 4°-)]

2. Une porte liomogene est fixee par deUx gonds a un axe faisant un angle donne avec la verticale. Trouver le mouvement et la pression sur les gonds. ( Routh, Rigid Dynamics, vol. I, p. 97. )

3. Un corps solide tourne autour d'un axe fixe Oz sous Taction de forces disposees symetriquement par rapport au plan du cercle decrit par le centre de gravite; le corps lui-meme est symetrique par rapport a ce plan. Calculer les pressions sur l'axe fixe.

Reponse. — II est evident que, dans ce cas, les pressions sur l'axe peuvent etre reduites a une force unique, appliquce au point ou le plan de symetrie coupe l'axe et situee dans ce plan. Les. formules generates dctermineront cette force^

4. On considere une masse determinee liomogene continue de matiere ayant la forme d'un cylindre de hauteur donnee qu'on fait osci ler autour d'une parallele aux generatrices. Quelle forme doit avoir la base et comment doit etre clioisi l'axe de suspension pour que la longueur du pendule simple synchrone soit ni/ni/num ?

Reponse. — La base doit etre un cercle et l'axe doit passer au milieu du cdte