DYNAMIQUE DU CORPS SOLIDE
du carre inscrit. (De Saint-Germain, Bulletin de la Societe mathenmt ique de France, t. II, p. 54 )
."). Axes de suspension d un pendule compose pour lesquels la longueur du pendule simple syachrone a une valeur dunnee. — Imaginons un solide determine; si Ton suspend ce solide autour d'une droite A qui lui est invariablement lice, prise comme axe de suspension, la longueur du pendule simple synchrone a une certaine valeur /. Appelons point de suspension la projection J du centre de gravite G du corps solide sur l'axe A. Par chaque point de suspension J passent alors une infinite d'axes de suspension A perpendiculaires a GJ : a ces axes correspondent, en general, des longueurs differentes / pour le pendule simple synchrone.
Tous les points de suspension par lesquels il passe au moins un axe A tel que / ait une valeur donnee k sont situes sur ou entre les deux nappes d'une surface "obtenue en prolongeant les rayons veoteurs, issus du centre d'une surface des
ondes, de la longueur constante ^- Par les points de suspension situes sur une
fles nappes, il ne passe qu'un axe de suspension A repondant a la question; par les points de suspension situes entre les deux nappes, il en passe deux; par chacua des points coniques de la surface, pris comme points de suspension, il en passe une infinite. ( Bocklen, Journal de Crelle, t. 93.)
6. Deux barres inaterielles homogenes egales AB et AB', de longueur 2/ et de masse M, sont articulees l'une a l'autre par une extremile A. On demande le mouvement de ces deux barres en supposant qu'elles soient lancees dans un plan horizontal XOY sur lequel elles glissent sans frottement.
On apptdlera \, rt les coordonnees du centre de gravite G du systeme, 6 Tangle de la droite GA avec OX, 2a Tangle BAB' des deux barres, et Mk- le moment d'inertie de cbaque barre par rapport a son milieu. (Licence, Paris, i885.)
7. Un tube rectiligne homogene AB de section infiniment petite et de longueur 2a glisse sans frottement sur un plan horizontal; un point materiel M dont la masse est egale a celle du tube est mobile sans frottement a Tinterieur du tube. Trouver le mouvement du systeme et la pression du point M sur le tube.
On appellera 6 Tangle de AB avec un axe fixe OX et ir le segment CM compte \ partir du centre G du tube. On examinera en particulier le cas oil la vitesse
initiate du centre de gravite du systeme et la valeur initiale de ^seraient nulles ;
on indiquera, dans ce cas, la forme de la trajectoire. du point M.
(Licence, Paris, 1887.)
liesultats :
r ^Vxprirne en fomM ion uniforme de 0 par une fonction elliptique. (Voir Fonctions elliptique* et leurs applications, par Greenhill, traduction de Griess, p. 107, n° 86).
8. Sur un plan horizontal glisse sans frottement un tube rigide de section iufiniment petite; ce tube affecte la forme d'une courbe qui, rapportee au centre de gravity C du tube comme origine et a un axe GA invariablement lie au tube comme axe polairc, a une equation donnce 0 = /(/'). Dans Tinternur du tube, i;lisse sans frottement un point m de merne masse que le tube. Trouver le mouvement du systeme suppose place dans des conditions initiales arbit raire*.
Bepon.se. — Le centre de gravite G milieu de Cm est anirne d'un mouvernent rcctiligne uniforme. Rapportonsle mouvernent a des axesGx', Gy\ de directions lixes, menees par G. La position du systeme est alors definie par les coordonnccs
polaires G m = ^> mGx' = a du point m et Tangle £ de CA avec Gx'. Le theorem e des forces vives donne
r'2-h 7,2a'2-f- ik- £'2 = A,
et celui des moments
/•- a' -+- 2 k- p' = const. ;
d'ailleurs, 0 = ACM = a — p =/(r); d'oii a, p et /• en fonctions de t.
9. Un tube rectiligne homogene AB, de section infiniment petite et de masse m, est mobile dans un plan horizontal xOy autour de son milieu O qui est fixe. Un point materiel M, de masse m, glisse sans frottement dans le tube et est attire par le point O, proportionnellement a la distance. Trouver le mouvernent du systeme.
On appellera ink1 le moment d'inertie du tube par rapport au point O, 6 Tangle rOA, /* la distance OM et \itnr la valeur absolue de Taltraction du point O sur le point M.
On etudiera, en particulier, le mouvernent en supposant qu'a Tinstant initial
t — o, on ait
dr rf6 r = dt = °' dt = *V
Dans quel cas la trajectoire sera-t-elle une circonference de centre O ?
(Licence, Paris.)
Resultats. — i° La somme des moments des quantites de mouvernent par rapport au point O est constante. Done
dt dt
2° Le theoreme des forces vives donne
,,/rfev Jd§y (dry .
oil h est une constante arbitraire. On a ainsi /• et 0. L'eliminalion de ^ donne t en /• par une quadrature.
10. Dans l'exemple III, n° 366, on remplace le double cone par une sphere ayant son centre dans le plan vertical EO£ mene par la bissectrice Ox de Tangle DOD', et assujettie a rouler sans glisser sur les guides OD et OD'.
