CHAPITRE XIX. — DYNAM1QUE DU CORPS SOLIDE
Trouver le mouvemeiit de cette sphere. (Bille de billard roulant sur deux queues qui torment un angle.)
Result ats. — On verifie sans peine que le centre C de la sphere decrit, dans le plan vertical yOx mene par la bissectrice Ox de Tangle des deux guides, une
eil i pse BCA dont les axes sont a = — > b = R, ou © designe le demi-angle des
sin 9
guides {Jig. 221 ).
La sphere roulant sur les deux guides, l'axe instantane de rotation de la Sphere est La droite qui joint les deux points de contact avec les guides : le point T oil cet axe rencontre Ox est le centre instantane de rotation dans le planyOa?, et CT est normal en C a l'ellipse lieu du centre. Appelons /• la longueur de cette normale, 0 Tangle dont la sphere a tourne a partir de sa position initiale, ds Telement d'arc de l'ellipse.
d'apres la propriete fondamentale du centre intantane de rotation. Si Ton designe par u Tanomalie excentrique du point C de l'ellipse, les coordonnees x et y de ce point sont
x — a cos w, y = b sin u.
On trouve facilement, pour la longueur de la normale CT,
r2 = ~ (a2 sin2 a -h b2 cos2 a) et, pour Telement lineaire d'ellipse,
ds2 — ( a2 sin2 u -h b2 cos2 u) du2 = ^ r2 du2. Portant cette valeur dans (1), il vient
( 2 ) % du = dQ ;
enfin, la hauteur * du centre de gravite C, au-dessus de I'horizontale 0£ du point 0, e->t, i designant Tangle xOl,
(3) , £ = x sin 4 -h y cost = a sin/ costz -+- b cos* sin u.
D YNAMIQUE DES SYSTEMES.
Ln force vive totale de la sphere est, d'apres le theoreme de Koenig,
MA- etant le moment d'inertie de la sphere par rapport a un diametre; on a done, en appliquant le theoreme des forces vives, supposant que la sphere parte sans vitesse initiale de la position pour laquelle a — m0, et tenant compte de (2),
Cette formule donne I en // par une quadrature. On peut ainsi etudier le mouvement. Pour que la sphere semble remonter, il faut et il suffit que le centre de gravite descende quand la sphere semble remonter.
On peut verifier que le mouvement de la sphere, au point de vne cinernatique s'obtient en faisant rouler une epicycloi'de sur la droite Ox. (Voir Manxhi r . Journal de Liouville, j 859, et Coniptes rendus. 3 novembre 1890.)
I!. Un tube circulaire homogene de masse M, et de section infiniment petite, est mobile sans frottement dans un plan horizontal autour d'un de ses points O suppose fixe. Un point materiel m, de masse m, est mobile sans frottement dans Tinterieur du tube, et est repousse par le point O propoitionnellernent a la distance.
Trouver le mouvement du systeme en supposant qu'il soit abandonne a luimeme sans vitesse initiale.
On appellera R le rayon du tube. VIA2 son moment d'inertie par rapport au point O, 0 Tangle que fait le diametre OA avec un axe fixe O.27, et a Tangle que fait le rayon vecteur Orn avec le diametre OA. (Licence.)
L2. On considere une roue mobile autour d'un axe vertical : les rayons de cette roue sont creux; dans chacun d'eux est place un boulet spherique de masse m; les centres de ces boulels sont tous a la meme distance initiale c de Taxe de la roue.
On met cette roue en mouvement en lui communiquant une vitesse initiale//. Mouvements des boulets.
[Le centre de chaque boulet decrit une courbe dont Tequation est de la forme rco 9 = c. (Greenhill, Fonctions elliptiques, traduction de Griess, n° 88.)]
13. On donne un quart de cercle de rayon R limite par un rayon vertical Qy et une barre homogene pesante AR de longueur 2 1 qui glisse sans frottement sur le quart de cercle et dont une extremite A glisse sans frottement sur le rayon vertical Qy.
i° Trouver la position d'equilibre de la barre.
20 La barre etant abandonnee a elle-meme sans vitesse initiale dans la position horizontale, etudier son mouvement.
On appellera a Tangle de la barre avec Thorizontale Ox et Ton verifiera que.
dans le cas particulier ou R = , Tangle a dans le mouvement oscille entre o
et ~ (Licence, Paris.)
== 2g [a siru ( cosw0 — cos 11) ■+■ b cose (sin u0 — sin 11 1 ].
