OC
la valeur absolue de la force attractive issue du point O. On supposera que le systeme parte du repos et que Ton ait, dans la position initiale,
6 = 0, 9 = ^ (Licence, Paris.)
16. Un carre materiel homogene de cote 2 a, d'epaisseur infiniment petite et de masse m, peut glisser sans frottement sur un plan horizontal : un insecte de
meme masse, regarde comme un point, est place d'abord au milieu d'un cote en A et le systeme entier est immobile; a Tinstant t '— o, Tinsecte se met a marcher le long du cdte en parcourant, sur le cote, des longueurs proportionnnelles aux temps. Mouvement du systeme.
Iieponse. — Le centre de gravite reste immobile. Prenons alors ce point O pour origine, et prenons alors pour axes Ox et Oy des axes paralleles aux cotes du carre dans la position initiale. A Tinstant t, Tinsecte est en M, le centre du carre en <'.', le point A milieu du cote en A', et Ton a par hypothese A'M = vt, v etant constant. D'ailleurs, la masse du carre et celle de Tinsecte etant egales, 0 est le milieu de (V M ( Jig 222).
Soient a Tangle dont le carre a tourne dans le sens negatif, c'est-a-dire Tangle de C'A' avec Ox; r et Q les coordonnees polaires de M. On a
CM 1 /\ vt
r — = - \J a--+- v2t-, 6 + a= A'C'M = arc tang —
D'ailleurs, les coordonnees polaires de C' sont /■ et 8 + it.
La somme des moments des quantites de mouvement par rapport a O est nulle, puisque cette somme est constante et que sa valeur initiale est zero On a done l'equation
dans laquelle mk"1 est le moment d'inertie du carre par rapport a son centre. Cette equation, jointe aux deux precedentes, donne r, 8 et a en fonction de /
17. Meme probleme quand on remplace la plaque carree par une plaque de forme quelconque, definie comme il suit. C designant le centre de gravite de la plaque, A un point fixe sur le contour, M un point variable tel que arc AM = s,
on a
CM = /($), ACM = 9(5).
Reponse. — L'insecte partant de A et parcourant un arc s = vt proportionnel au temps, on a, avec les notations de 1'exercice precedent, les relations
r = I /(Vt), b — oi= o(vt)
qui, jointes a celle ({ue fournit le theoreme des moments, donnent r. 8 et y. en fonction de t.
18. Dans 1'exercice IV du n° 366, Pendule elliptique, calculer la duree des oscillations infiniment petites; que devient cette duree quand m augmente indefiniment ?
Reponse. — Appelant a Tangle d'ecart initial, on a A- — — cosa. Comme 8 et a sont tres petits, on peut faire
sin 6 — 6, cos 0 — i > cosa = i ;
alors on a
c?6 \2 g m -\- mr a- — 82 dt ) ~~~ I m
En developpant le dernier facteuv, suivant les puissances de 82, et negligeant les puissances superieures a la deuxieme et le produit ot202, on a
^V 5'm-tmi(a2 62);
\dtj I
d'oii
Si m augmente indefiniment, on trouve comme limitela duree des oscillations du pendule simple, ce qui est evident a priori, car alors la masse m ne bouge plus.
19. Un triangle rectangle pesant, assujetti a rester dans un plan vertical, glisse sans frottement sur un axe horizontal Oa? sur Jequel il repose par un cote de
