CHAPITRE XIX. — DYNAMIQUE DU CORPS SOLIDE. l
{Jig. 228) do petite section, et de tres faible masse, articulee, d une part, avec le pendule en A, et, d'autre part, en B avec le point du ressort qui, dans la position d'equilibre, se trouve en G sur OV, de sorte que OG — OA -+- AB. D'ailleurs. OA = AB.
On peut regler i'appareil de telle facon qu'en ecrivant l'equation du mouvement
le second membre, developpe par rapport aux puissances croissantes de a, contienne un terme en a, puis un terme en a5, les termes intermediaircs manquant . Lc mouvement est alors isochrone pour de petites oscillations. (Coinptes rendus, 26 janvier 1891. )
30. Dans un plan vertical est fixe un disque circulaire A dont la circonference est depolie.
I. Un point pesant P est place sans vitesse initiate sur la circonference du disque A dans le voisinage du point le plus baut du disque A.
i° On demande de determiner Tangle minimum a que doit faire le rayon qui passe par le point P avec la verticale dirigee vers le haut pour que le point P resse d'etre en equilibre; 2° si le point P est place sur le disque sans vitesse initiale de maniere que le rayon qui .passe par le point P fasse avec la verticale un angle un peu plus grand que a, le point P glisse d'abord sur le disque, puis quitte le disque. On demande de former l'equation qui donne Tangle de la verticale avec le rayon qui passe par P, lorsque ce point P se detache du disque pour tomber librement.
II. Sur le disque circulaire A, dans le plan de ce disque, on place un deuxieme disque circulaire pesant B qui est homogene et dont le rayon est egal a la moitie du rayon du disque A. La circonference de B est depolie, en sorte que les deux disques frottent Tun sur Tautre; on neglige la resistance au roulement.
A Torigine, le disque B est sans vitesse et le rayon du disque A aboutissant au point de contact des deux disques fait avec la verticale ascendante un angle aigu p\
Entre quelles limites doit etre compris [3 pour que le disque B roule d'abord sans glisser sur le disque A ?
En ad men ant que le disque B commence par rouler, etudier son mouvement et former les equations qui donnent : i° Tangle que fait avec la verticale ascendante le rayon A qui passe par le centre de B a Tinstant oil cesse le roulement simple sans glissement; 20 Tangle analogue a Tinstant oil le disque B se detache de A.
Dans les deux questions, on dcsgnera par / le coefficient du frottemenl de glissement. (Agrcgation, i8jG.)
31. Ln triangle equilateral materiel OAB pouvant glisser sur un plan horizontal fixe xOy est assujetti a tourner a u tour de son sommet O qui est fixe. Un point materiel M, de masse iresl assujetti a glisser sur le cote AB et est attache au sommet O par un (il elastique et sans m;isse OM dont la longueur a Tetat naturcl (quand il a'est pas allonge) est e^ale a la hauteur OH = a du triangle. On admet que la tension de ce lil est proport ionnelle a son allongemcnl a parti r
de Tetat nature! a, de telle sorte que, quand le fil a une longueur OM /•, sa tension a pour expression ->.k(r — a), /." designant une constante positive.
Trouver le miuvement du systeme en supposant les liaisons realisce3 sans frottements.
Notations et conditions initiates. — On appellera / La distance OM , 2 Tangle HOM, <p Tangle xOH, I le moment d'inertie du triangle par rapport au point O,
et Ton remarquera que cosa = - •
On prendra comme parametres independants /• et ®, et Ton admettra qu'a Tinstant initial le systeme part du repos, le mobile M etant en A.
(Licence, iQOi.j
Beponse. — On psut appliquer le theoreme des moments cinetiques par rapport a O et le theoreme des forces vives. On a ainsi les deux equations
. do „ ! do da\
oil la constante des forces vives, d'apres les conditions initiates, a pour valeur
h — ka} j-
* Eliminant a et a?, on arrive finalement, pour /•, a une equation de la forme
oil xV(r) est positif pour toutes les valeurs r > a que peut prendre r. II faut
que le deuxieme membre soit positif aussi, ce qui exige r< — •
On peut trouver, sous forme finie, la relation entre r et <p.
31. Une plaque homogene a la forme d'un pentagone ABODE forme par la reunion d'un rectangle ABCE et d'un triangle isoscele CDE de sommet D. Le cote AB a une longueur de 3m, le cote BC une longueur de 4ra et la hauteur DH du triangle une longueur de im. La masse de la plaque est de ios :
i° Determiner Tellipsoide d'inertie de cette plaque par rapport au point de rencontre 0 des diagonales AC, BE du rectangle ABCE (on ecriia les coeficients en unites C. G. S.).
2° On fait osciller la plaque, supposee pesante, autour de la droite AC fixee horizontalement. Calculer la duree des oscillations infiniment petites.
Beponse. — En posant AB = 2a, BC = 26, et appellant m la masse totale.
m — 5p ab, ou p est la masse de Tunite de surface, on a a= 7 b; les moments
d'inertie par rapport a Ox (parallele a AB) et a Oy sont A = ^ mb-, B = |^ mb~ et, par rapport a OC, I = mb2. Enfin T == 2^ y/"^"" = 4 second.es
