CHAPITRE XX. — MOUVEMENT D'UN SOLIDE

rapports, puis en e'liminant x2 a ['aide uV la derniere relation, les formules d'Olinde Rodrigues :

— ;jl2 — v2 -f- p2

2(XfJL — Vp )

'>( AV 4" fAp)

et six autres formules analogues donnant les neuf cosinus en fonctions rationnelles de trois parametres qui sont les rapports de trois des quantites X, u, v, p a la quatrieme.

Mais on peut aller plus loin et simplifier davantage les formules classiques qui expriment les coordonnecs a',, yif Z\ d'un point par rapport aux axes fixes Ox\y\,z\ en fonction des coordonnecs x, y, z du meme point par rapport aux axes Oxyz; pour cela on introduit les quantites

liees par la relation

e ~ cos - } b = te ~ sin - j

re " sin -j a — e ~ cos - >

atf? — be

et Ton montre que les formules de transformation de coordonnees peuvent efre ramenees a une meme substitution lineaire

d cu -+- d '

rll'ectuee a la fois sur deux quantites u et u .

Pour les formules d'Olinde Rodrigues, nous renverrons aux Lecons de Cinematique de Kcenigs, et, en particuler, a la IXote de Darboux placee a la fin du Volume de Kcenigs; puis, pour la reduction des formules de transformation a une substitution lineaire, nous renverrons au meme Volume de Kcenigs, p. 337, ^ l'Ouvrage de Klein etSommelfeld {Ueber die Theorie des Kreisels, Chap. I), et a une Note de Lacour {Nouvelles t una les de Mathematiques, 3P serie, t. XVIII, decembre 1899).

*.)(S!2. Preliminaires cinematique s. Rotation instantanee d'un triedre mobile. - I inanitions un tried re Oxyz qui se meul autour du point lixe () par rapport a un triedre Oxiy\ z\ regards comme

fixe. Pour definir ce mouvement, il suffil d'imaginer que les angles d'Euler 0, cp, sont des fonclions continues du temps.

Nous avons vu en Cinematiquejque. dans un corps solide mobile a u lour d'un point fixe, I'etat des vitesses a un instant t est le meme que si le corps etait anime d'une certaine rotation u autour d'un axe passant par le point fixe. Cette rotation w s'appelle la rotation instantanee a V instant t : elle est representee par un vecteur, comme nous l'avons explique (n° 44). Appelons p, q, r Jes composantes de la rotation instantanee du triedre mobile suivant les axes mobiles Ox, Oy, Oz. Nous avons exprime /?, q, r, en fonction des neuf cosinus et de leurs derivees par rapport au temps (n° 51). Actuellement nous nous proposons de calculer p. q, r en fonction de 0, o, ^ et de leurs derivees 6', cp', -V par rapport a t.

Pour amener le triedre de la position qu'il occupe a l'instant t et qui correspond aux valeurs 0, cp, ^ des trois angles, a la position infiniment voisine qu'il occupe a l'instant t -f- dt et qui correspond aux angles 0 -f- dQ, cp -f- <icp, <1) -+- db, on peut proceder comme il suit :

On fait d'abord tourner le triedre de d<l> autour de 0^4; alors d> augmente de d<\>, 0 et cp ne changent pas. Autour de la nouvelle position de 01 on fait tourner le triedre de <i0; enfin, autour de la nouvelle position de Oz, on le fait tourner de do. Si Ton concoit que ces trois deplacements angulaires se font dans l'espace de temps dt, les vitesses angulaires de rotation correspondantes sont 9' et cp'.

On peut dire que la rotation instantanee co du triedre est la resultante des trois rotations if/, 0; et cp' effectuees autour de Ozl} 01 et O^. Ces trois rotations composantes sont representees {fig. 224) par des vecteurs egaux a 0', cp', portes sur les axes Oz^, OI et Oz. La rotation resultante co est la somme geom£trique de ces trois vecteurs : sa projection sur un axe quelconque est done egale a la somme des projections des composantes t}/9 0' et cp' sur le meme axe.

Nous chercberons d'abord les projections de la rotation instantanee co du triedre mobile sur les trois axes rectangulaires 01. OJ, Os, l'axe O.T etant situe dans le plan xOy, et faisant avec OI