CHAPITRE XX. — MOUVEMENT D'UN SOLIDE

Tangle -f- appelons «/, coy. co3 cos irois projections, donl la

troisieme est r. Pour les ohtenir, il suffil de remarquer que le vecteur i|/ etant dans le plan sOJ peut etre decompose en ses deux projections el ty'z sur OJ el ( )z. a savoir

= 'V sinO. (LI = 'j»'cosO.

On a alors, suivant OJ, OJ, Oz les Lrois coinposanles de co :

(1) w/ — 0'. tO/ = J/ sin 83 r = -V cos6 -+-

Pour avoir ensuite q, il suffit de faire la somme des projections des composanics co,- et co/ sur Ox el Oy : coinme les axes rectangulaires IOJ sont dans le plan xOy el que Ox fait avee 01 Tangle cp, on a immediatemeni

j) — CO; COS Cp -h COy sin cp, ^ — (Oj-COS ^9 -h ^ \ -h coy cose. ;

d'ou, entin, les formules donnant p, q, r :

( p = <y sin 0 sin cp -+- 6' cos 9 ,

(2) I q = <|/ sin 8 cos cp — 0'sin9, ^ r — 'VcosO -h ©'.

Remarque. — Dans ces formules, les trois premiers termes des seconds membres representent respectivement les trois projections du vecteur J/ dirige suivant Osi sur Ox, Or, Oz. On en deduit que les cosinus y, y', y" des angles que fait Ozl avec Ox, O r, O: son!

(3) y == sin & sin o, 7' := sin 0 cos 9. y" — cosfl, comme nous Tavons deja vu dans le numero precedent.

Probleme inverse. — Nous venons de voir comment, connaissant le mouvement du triedre Oxyz, e'est-a-dire les expressions de 0, cp, <j< ou des neuf cosinus a, (3, y, . . . en fonclion de t, on pent calculer les composantes p. q, r de la rotation instanlanee du triedre en fonclion de t.

Inversemenl. supposons que Ton connai^c (/, r en fonclion

de t, et que Ton vcuille calculer 0, cp, 011 ^es neuf eosinus a, (3, v, ... t'Q fonclion dc /. II faudra alors intcgrer los Equations (2) du premier ordre en 0, cp, ty. On peul demonlrer que ce probleme se ramene a l'inlegrai ion d'une Equation de Riccati a coefficients complexes [voir Darboux, Lecons sur la thiorie generate des surfaces > t. L Chap. II, Mayer, Symmetrische Losung,... [Hcrichte der konigl. sdchs. Gesellschaft der W issenschaf ten zu Leipzig, 2 mars 1902) et les Traites d'Analysc, par exemple Goursatl.

!>8o. Corps solide mobiie autour d'un point fixe; emploi d'un triedre mobile invariablement lie au corps. — Imaginons un solide materiel en mouvement autour d'un point fixe O. Pour determiner la position de ce corps par rapport aux axes fixes Ox^yiZi, \\ suffit de considerer un triedre trirectangle Oxyz invariablement lie au corps : la position du corps sera alors dcfinie a chaque instant par celle du triedre, c'est-a-dire par la connaissance des trois angles d'Euler 0, cp, ^ en fonction du temps.

La rotation instantanee w du corps solide est alors identique a celle du triedre, et ses composantes /?, r suivant les axes mobiles Oxyz sont donnees par les formules (2) ci-dessus. Nous allons calculer la force rive du corps et le moment resultant des (juantites de mouvement des points du corps par rapport au point fixe O.

Force vive du corps. — Soit v la vitesse d'un point m du corps ajant pour coordonnees ./ , y, z par rapport aux axes mobiles Oxyz lies au corps. Les composantes de la rotation instantanee co suivant ces axes etant /?, q, r, les projections vx, pr, vz de v sur les axes sont (44)

vx=qz — ry, vy=rx — pz, vz = py—qx,

et l'on a

== [>-( r- -+■ z-) — q- (z- -+- x~) -+- r- (x- -b y-) — 2 qryz — irpzx — 2 pqxy* Reprenons les notations employees dans le n" 318 : S m( y--h z-) == A, m(z'2 ■+■ x- ) = B, Sm(a?s+/?) = C,