CHAPITRE XX. — MOUVEMENT D UN SOLIDE
oii A, B, C soul les moments d'inertie du corps par rapporl aux axes Ox, Qy, O z. Nous aurons alors, on calculnnt la force vive totale 2mc2, ({ue nous appellerons aussi 2T,
1 mp2 2 T = A /)2+By2+G r- — iDqr — 2 E rp — 2 F pq.
Si, en particulier, on prend pour axe> Oxyz lies au corp> les axes principnux d'inertie relatifs au point O. les coefficients D, E3 \7 sont nuls et la force vive devient
I tin?- = 2 T = A p- -+- B q- — C r.2.
Cdle meme expression de la force vive s'obtient comme il suit. Appelons M /.'- le moment d'inertie du corps par rapport a l'axe instantane, et a, b} c les cosinus directeurs de cet axe par rapport aux axe- Oxyz. Nous anions ( n° 318)
M k- = A a- -+- B b- -t- G c- — 2 D be — 2 E — 2 F «6 .
La vilesse angulaire de rotation etant to, la force vive du corps est d'autre part, p, q, r, projections de to sur les axes, sont egaux a no. b to, cto. Formant le produit MA:'- to'2, on obtient immediatement Texpression deja trouvee.
Moments cinetiques. Moment resultant. — Gonstruisons a linstant t le moment resultant O? des quantites de mouvement des divers points du corps par rapport a O, Le vecteur Oct a pour projections cr,., oy, az sur les axes mobiles : la quantite" ax, par exemple, est la somme des moments cinetiques par rapport a Ox. La quantite de mouvement du point m a pour projections sur Ox. Or, Oz
mvx. mvy. mvz.
La somme <rx des moments cinetiques de tous les points du corps par rapport a Ox est done
nj: = 2 m( yvz — zvy) = 2 m [ p( \ - -h z'1 ) — q jrr — /• ./■ z \
ou. en ordonnant par rapport a />, 7, r,
\ sx = A j) — F q — E /■.
Cette valeur, comparee a celle de la force vive 2T, montre que
rj — ; on a de rneme les sommes oy et cr- des moments des
quantity de mouvement par rapport aux axes Or et :
dT dT^
Zy~ dq1 "Jz~ dr*
Si Ton a pris pour axes Oxyz les axes principaux d'inertie du corps relatifs au point O, les valeurs de a, , oy, <7S se simplifient et deviennent
(5) *.r~ A/>, *r=B?, ss=Cr.
Equations du mouvement. — Arrivons maintenant au probleme de M^canique. Le corps solide est sollicite par des force^ donnees F4, F2, .-. ., FB et par la reaction Q du point fixe O.
Fig. 225.
Nous allons, pour obtenir les equations du mouvement. appliquer le thfioreme des moments cinetiques.
Soient L, M, N les sommes des moments des forces donnees par rapport aux axes Ox. Oy, Oz. Si Ton construit le moment resultant de ces forces par rapport au point O, on obtient un vec-
teur OS dont les projections sur les axes Oxyz sont prexisement L, M, N. Ce vecteur est le moment resultant par rapport a O de toutes les forces exterieures {fig. 225), car ce moment se compose du moment des forces donnees, qui est OS, et du moment de Q, qui est nul.
Nous avons vu que le theoreme des moments cinetiques s'exprime g^omctriquement de la facon suivante : a chaque instant
la vitesse absolue u du point a est equipollente a OS. Les pro-
