CHAPITRE XX. — MOUVEMENT DUN SOLIDE. l5g

jections de cette vilessc sont done Sgales a celles de OS, e'esta-dire a L, M, N. Or le point i a pour coordonnees, par rapport aux mobiles, trx, oy, trz. Quand t varie, cr,., tjy, trz varient : le point cr se deplace par rapport aux axes mobiles Oxyz avec une vitesse relative ayant pour projections sur Ox, Oy, O;

Ckx 'fry <llZ .

dt ' tit 1 777s

la vitesse d'entrainement du point <x, dans le mouvement des axes a pour projections, sur les memes axes,

gaz—r crr, ;• r£ — p iz , p fy — § p x.

La vitesse absolue u du point tr etant la somme geometrique de sa vitesse relative et de sa vitesse d'entrainement a done pour projections

dax d<7Y daz

D'apres le th^oreme des moments cinetiques, ces projections sont 6gales a L, M, N; on a done les equations du mouvement

j gv\ dv.x T dor daz

W df + y**— r<ty= h, -+- r<tx-^paz = M, -h.'pay— qax= N3

dans lesquelles trXJ trr, <rz doivent etre remplaces par leurs expressions pr^ce"demment trouv^es en fonction de /?, r.

384. Equations d'Euler. — On prend habituellement comme axes Oxyz lies au corps les axes principaux d'inertie relatifs au point O. On a alors

<jv= Xp, <7y—Bq, a;=C/\

I'ortons ces valeura, dans les Equations que nous venons d'etablir; elles deviendront

(It

Orp =

A \pq =

Ce sont 1*3S Equations d'Euler. En les joignant au groupe (2) definissanl />, q, r, nous aurons six 6quations rJ i flt^renlielles du premier ordrc pour calculer les six inconnues p, q, r, 0, 9, en fonclion de t.

Les seconds menibres L, M, N de ccs Equations sont des fonctions de 0, or, si les forces donnees dependent uniquement de la position du corps; ce sont des fonctions de 0, o, ^, />, 7, r, si ces forces dependent aussi des vitesses. Si l'on voulaii calculer direclement 0, 9, l'elimination de /?, 7, r conduirait a trois equations du second ordre en 0, cp, ty. Les integrates generates contiendrontsix constantes qu'on determinera, connaissant la position initiale du corps et la rotation instantanee initiale, c'est-a-dire 0O, cp(), ip0j /?0, 70, r0.

385. Reaction du point fixe. — Pour calculer les projections de cette reaction (Q.r, Qj? Qs)> nous appliquerons le th^oreme des quantites de mouvemcnt projet^es, avec son interpretation geometrique; l'extrdmite 0 de la r^sultante generale des quantites de mouvement a une vitesse absolue egale en grandeur et en direction a la resulte generale des forces exterieures, laquelle a pour projections sur les axes mobiles

S-Xn- Q.r? SY-f- Qr, XZ + Q?,

2.X, -Y, liL etanl les sommes des projections des forces donnees.

Nous avons done, par un raisonnement analogue au precedent, en appelant a, b, c les coordonn^es du point p par rapport aux axes mobiles.

=» iX + u,,

eft

-h qc —

= SY + Qr,

Tit

les premiers menibres representant les projections de la vitesse absolue du point 0 sur les axes mobiles. Nous avons d'ailleurs pour a la valeur 2/wpr, c'est-a-dire

ft = S m ( q z — ry ) = qZ mz — r2my}