CHAPITRE XX. — MOUVEMENT D'UN SOLIDE. l6l

que nous ecrirons en introduisant les coordonnees r), £ du centre de gravite" par rapport aux axes mobiles 2mx = JTt£, . . . ,

nous aurons aussi

i = OK ( -rj - p C), ?•=

Portons ces valeurs de «. 6, c dans les equations (8); nous aurons, en definitive,

Ydq dr , y k t y y \ Q.rH-SX

C3 - 1 3 + *Q^.- fc» - r(r g o = — j^- ,

dr Ydp . . . QV-+-SY

car 5, y], £ sont des constantes.

Si le corps est suspendu par son centre de gravite, les premiers membres des equations prec^dentes sont nuls, et les equations donnant la reaction se reduisent a

SX + Q.r=o, SY + Qr=o, SZ + Qs=o.

La reaction Q est alors £gale et opposee a la rcsultante gen£-

rale R. des forces donn^es, resultat Evident d'apres le theoreme du mouvement du centre de gravity.

386. Emploi d'axes mobiles dans le corps. — Dans ce qui precede nous avons supposees les axes Oxyz invariable ment lies au corps solide. Imaginons que I on rapporle le mouvement du corps a un tiedre Oxyz dont le sommet coincide avec le point fixe O et qui est anime d'un mouvement connu dans l'espace.

Appellons OQ la rotation instantanec de ce triedre, P, Q, R ses composantes suivant les axes mobiles Oxyz. Soient, d'autre part,

Oco la rotation instanlanee du solide ; p q, r ses composantes

suivant les memes axes. Comme le triedre Oxyz n'est plus Iiee au

— y . , — >corps, Ow est dill'erent de En suivant la meme marche que

|)Iu-> haut, nous obtiendrons les reSultals suivants.

APPELi.. — Traitc :dc Mccaniquc. ir. 11

Vitesse absolue d'un point du corps. — Soient v la vitesse absolue d'un point m du corps ayant pour coordonnees x, y, z par rapport aux axes Oxyz. Celle vitesse 6tant le moment lin^aire du vecteur &>(/?, r), par rapport au point m, a pour projection^ sur les trois axes

vx=qz — ry, vy — rx — p z , Vz =py — qx.

Force vive des corps. — La force vive 2T est donn^e par la formule

2T = Zmv*= S m[(q z — rjr)2 -+- (rx — p zf + (py — q xf}. En posant, comme plus haut,

A = Sm(j2 -4- z-), B = Sm(^+^), C = Sm(a;* + /!), D = 2 myz, E=zl,mzx, F = 2 mxy,

on trouve encore

2T = A/>°- h- B#2-h Gr2 — — 2E rp — 2Fjdj.

Dans ces formules, A. B, G sont, a Finstant t, les moments d'inertie du corps par rapport aux axes Oxyz, et D, E, F les produits d'inertie par rapport a ces axes. Com me le triedre Oxyz est suppose mobile dans le corps et dans l'espace, ces six quantites varient avec le temps.

Moment resultant des quantites de mouvement. — Le

moment resultant Oa des quantites de mouvement des divers points du corps, par rapport au point fixe O, est un vecteur ayant pour projections sur les axes Oxyz les quantites

o-.r = ^m(yvz— zvy), <sy— E m(zvx — xvz), <sz = ^m(xvy—yvx).

En remplacant p.,, "(-,-. vz par leurs expressions ci-dessus, on

dT *'

r)T aq '

dr'

trouve

<x.r = Ap —

Fq~

ffr = B«7 -

Dr —

gz = G r -

Ep-