CHAPITRE XX. — MOUVEMENT D'UN SOLIDE

Moment resultant des forces. — ■ Soit OS le moment resultant des forces appliquees aa corps par rapport au point O : nous designerons par Sx, Sn S3 les projections de ce vecteur sur les axes Oxyz, e'est-a-dire les sommes des moments des forces par rapport a ces axes.

Equations du mouvement. — Nous devons ^crire que la

vitessse absolue u du point cr est equivalente au vecteur OS (fig- 225). Pour cela, nous ecrirons que les projections de la

vitcsse absolue u du point ' cr sur les trois axes Oxyz sont egales

aux projections S.r, Sr, S- de OS sur ces axes.

Le point a ajant pour coordonnees ax, cry, o-2, par rapport aux axes mobiles Oxyz, a pour vitesse relative, par rapport a ces axes, un vecteur ayant pour projections sur ces axes

dax d<Sy da- 1 It' It' It'

le systeme des axes Oxyz etant anim£ de la rotation instantan^e — >

012 de composantes P, Q, R, le point a a pour vitesse d'entrainement. dans le mouvement des axes, un vecteur ayant pour projections sur ces axes

Q<jz—R<jy, R<7X.— Pa-, Pav — Qar.

Les projections de la vitesse absolue du point cr etant les sommes des projections des vitesses relative et d'entrainement, on a les equations du mouvement

(10) | ^ -h \\Cv-P0z=Sy,

\ + P<xr — Q<iar= S,.

Dans ces equations generates, crx, oy, <r- ont les valeurs (9) ; et il est essentiel de remarquer que, dans le calcul des derivees

■^jj-i • • • - il faut se rappeler (jue les coefficients A, B, . . . sont, en

general, variables avec /.

l64 DYNAMIQUE DES SYSTEMES.

Cas particuliers : i° Le triedre de reference Oxyz est

attache au corps. — Dans ce cas, la rotation instantanee il du [riedre est identique a la rotation m du corps. On a

P=p, Q = rj \\ = r,

de plus, A, B, G, D, E, F sont des constantes. On retrouve alors les Equations du n° 383.

2° Le triedre de reference Oxyz est fixe dans Vespace. — Alors la rotation il du triedre est nulle P, Q, R sont mils.

II. — PREMIERE APPLICATION DES EQUATIONS D'EULER AU CAS OU LES FORCES EXTERIEURES ONT UNE RfiSULTANTE UNIQUE PASSANT PAR LE POINT FIXE.

387. Integrates premieres. — Le cas le plus simple qui puisse se presenter est que les forces exterieures aient une resultante unique passant par le point fixe, comme il arrive pour un solide pesant suspendu par son centre de gravite\ Dans ce cas, le corps, abandonne a lui-meme sans vitesse serait en equilibre dans toutes les positions qu'il peut prendre autour de O.

Le moment resultant des forces exterieures par rapport au point O est alors nul; les quantites L, M, N du n° 383 sont egales a ze>o, et, si Ton prend pour axes lies au corps les axes principaux d'inertie Oxyz au point O, les equations d'Euler (n° 384) deviennent

Comme ces equations ne contiennent que /?, </, r etnon 0, o, tyr Integration des Equations du mouvement se divise en deux parties : on a d'abord a integrer les Equations d'Euler (n), qui