CHAPITRE XX. — MOUVEMENT D'UN SOLIDE. l

donnent b, q, r en fonction de t\ puis il faul calculer 0, cp, ^ en fonclion de t.

Le systeme (11) admet deux integrates premieres faciles a former. En multipliant la premiere de ces equations par p, In deuxieme par q, la troisieme par r et ajoutant, on a la relation

dp clq dr

1 dt 1 dt dt

ou, en integrant et appelant h une constante arbitraire,

(12) ^Ajp2-+- Bq- -h Cr2 = h.

Multiplions de meme ces equations par Ap, Br, Cr; nous avons, en ajoutant,

A2/? -f -+■ B2 a -f -+- C2 r -7- = o 7 rfjf 7 dt dt

ou, en integrant et appelant I- une constante arbitraire,

Ces deux integrates ont une signification simple; elles r^sultent immediatement des theoremes generaux. En effet, la force vive lotale du corps a pour expression Ap2 -f- Bq2 -f- Cr2 ; l'equation (12) exprime done que la force vive du systeme reste constante, ce qui est, evident, car, les forces donnees se reduisant a une resultante unique passant par O, cette resultante peut toujours < tre transportee en U, et son travail est evidemment nul.

Pour interpreter de meme l'equation (i3), nous rappellerons

que le moment cinetique resultant 0<7 a pour projections sur les axes mobiles Ay?, Bq, Cr. L'equation (i3) exprime done que sa longueur est constante : ce quiresulte encore des theoremes generaux.

Car, actuellement, L, M, N etant nuls, OS est nul; le point cr, ayant une vitesse nuile, est fixe, et la longueur O a est constante et egale a /. Le th^oreme des aires s'applique a la projection du mouvement sur un plan quelconque mene par O. Le plan perpendi- Culaire a Oct est le plan du maximum des aires.

[/elimination des termes constants entre les equations (12) et ( i3) conduit a la relation

A ( A // - B ( B A — /- ) cp -+■ C(C// - /2)r2 = o.

Les Equations de l'axe instantand par rapport aux axes mobiles

ctant — == — *=== — 9 on voit que cet axe de'crit dans le corps le cone p q r * r

du second ordre

A ( A A — I:1) x-^t- B ( B A — /2 ) y- -+- C(Ch—l>)z* = o,

qui sera discul6 plus loin.

Une consequence immediate des Equations prccedentes est que la projection de la rotation instantanee sur la direction

fixe Oa du moment cinetique resultant est constante (Poinsot).

Eq effet. Tangle de la rotation instantanee co avec 0<7 a pour cosinus

/\ pA» + </B(7 + rGr COSto, -7 = - — ~ )

d'ou

o) cos to, cr = j 5

quantity constante.

Pour mettre l'homog^neite en evidence, nous poserons avec M. Greenhill (Fo/wtions elliptiques , traduction de Griess.

(i4) T = * T=D'' d'ou

A = Dijl-, /=D;j..

La constante arbitraire (J., projection de w sur Oct est alors une rotation, et la constante arbitraire D est, au point de vue de l'homogeneit^, une quantite de meme nature que A, B, C.

388. Etude du mouvement : integration par les fonctions elliptiques. — Supposons A. >» B >> C et supposons que la constante arbitraire D ne soit £gale a aucune des quantity A, B ou C. Les composantes /?, q, r de la rotation instantanee sont d^finies en fonctions du temps par les trois Equations