CHAPITRE XVII. — MOMENTS D'lNERTIE

Des expressions ci-dessus resultent les th^oremes suivanLs :

a. Le moment d'inertie, par rapport a un axe. est egal a la somme des moments d'inertie j>ar rapport a deux plans rectangulaires, passant par cet axe.

b. Le moment d'inertie, par rapport a un point, est egal a la somme des moments d'inertie par rapport a trois plans rectangulaires passant j>ar ce pointy ou a la somme des moments d'inertie par rapport a un plan et a une droite rectangulaires passant par ce point.

4" Produits d'inertie. — Les geometres anglais appellent ainsi les sommes Zmyz, ^Lrnzx, l*mxv, qui se ramenent imm^diatement aux moments d'inerlie. Menons en effet les plans bissecteurs P et P' des diedres forme's par les plans zOx et zOy, plans qui ont pour equations x-i-y = o, x — y = o, puis appelons o et o! les distances du point de masse m et de coordonnees x. y, z a ces deux plans. Nous avons

S m xy — - ( 2 m o- — 2 rn o - ),

relation dans laquelle les deux termes du second membre sont des moments d'inertie.

315. Systemes continus. — Pour calculer les moments d'inertie d un corps continu, d'une masse melallique, par exemple, on la suppose decomposed en elements de volumes infiniment petils dv dont les coordonnees sont x. y, z et la masse m = pdv, p designant la densite du volume eUementaire dv. Alors, une somme telle que Imx-, ou Zmyz devient une integrate triple jjj px-dv

ou iff pyz dv etendue au volume consider^.

316. Exemples. — i " Moments dHnertie d^une sphere homogene. — Soil p la densite. Cherehons d'abord le moment d'inertie ;jl de la sphere par rapport a son centre; ce moment est une fonction du rayon R; son accroissemenl '/•/, lorsque IS prend un accroissement infiniment petit o?R,

est le moment d'inertie d'une couclie spherique de masse j- \\-yd\\, par rapport a un point qui en est a la distance constante \\ ( fig. 179 j : c'est done

d\x = \ ~ \{-od\\ x W-j d'ou, en integrant entre les limites o et P»,

Le moment d'inertie par rapport a un plan diametral est

puisque le moment d'inertie par rapport a tous les plans diametraux est le meme, et que le moment d'inertie par rapport au centre est egal a la somme des moments d'inertie par rapport a trois plans diametraux rectangulaires. De la resulte que le moment d'inertie par rapport a un diametre, somme des moments d'inertie par rapport a deux plans diametraux rectangulaires, a pour valeur

M designant la masse totale ^-pK:i; le rayon de gyration autour d'un diametre est done

2° Moments dHnertie (Tun ellipso'ide homogene. — Soit

i zl

l'equation de l'ellipsoide. Son moment d'inertie par rapport au plan des xy est, en appelant p la densite,

z- dx dy dz,

l'integrale triple etant ctendue a tout le volume de l'ellipsoide.