CHAPITRE XX. — MOUVEMENT D'UN SOL1DE
D'apres les proprifHes elementaires des fonclions sn, cn, dn, ces formules montrenl que p et q s'annulent pe>iodiquement, tandis que ne s'annule jamais.
Si, comme precedemment, nous supposons /'0>>o, r reste constammcnt positif el il faut prendre s'/ = -f- [. Alors, d'apres la
premiere equation d'Euler, on voit imm^dialement que ~ et q
doivent etre de memes signes, ce qui, d'apres la formule connue
rfcn- , — - — = — sn-driT,
eh
montre que ee'= — i . Nous prendrons s' = — i et s .— -f- i .
Les valeurs de p, q. /', sont des fonctions periodiqucs de t et admetlenl la pe>iode
j 4K 4 r 1 ds
" ~ " Jo — s-)(i— fcs'2)
Quand le temps augmenle de cette quantity,/?, q, r reprennent les memes valeurs; l'axe instantane de rotation reprend alors sa position primitive dans Ie corps, mais non dans l'espace, comme nous le verrons plus loin.
II faut main tenant calculer les trois angles d'Euler en fonction du temps. Pour simplifier Ie calcul, nous supposerons qu'on ait pris pour axe des Z\ la direction invariable du moment cinetiquo — >-
resultant Oct, direction connue par les conditions initiales.
I .( nvons que les projections du vecteur Oct sur les axes mobiles sont respectivement A/?, B</, Cr; nous aurons
1 / sin 6 sin 9 = Ap, (20) 1 I sin 0 coscp = B 7,
f / cos 0 = G r ;
IjO DYNAM1QUE DES SYSTEMES.
car les cosinus y, y', y" des angles de Ox, O k, Oz avec O^i sont
sinO sincp, sinO coscp et cosO; / est la grandeur de Oct. Ces Equations donnent, sans integration, 8 et cp en fonctions de p, q, r, et sont compatibles en vertu de liquation (i3).
Pour calculer i>, nous nous reporterons aux deux equations etablies pr^cedemment :
p = <]/ sin ft sin cp -h 0' cos 9, cj == <!/ sin 0 cos cp — 0' sin 9 ; en eliminant 0', nous en tirons
^ p siD 9 -1- <7 cos 9 < sin 0
or les Equations (20) nous donnent
p sin 9 -4- q coso = . . — ~-: i- sin2 (J = A2/>2-h B-q- ; jrT2T / sin 0 x 3
l'expression de ij/ devient done
Gomme i|/ est positif, Tangle ^ va toujours en croissant; le
plan z-iOz tourne toujours dans le sens positif autour de Oz{,
e'est-a-dire de Oct. En remplacant p et q ou /* par leurs valeurs en fonctions de t, on a en t par une quadrature porlant sur une fonction elliptique. Nous montrerons plus loin (n° 391) comment on peut, en effectuant cette quadrature, exprimer et, par suite, les neuf cosinus a, (3, y, a', (3', y', a" , (3", y" en fonctions du temps.
Les principales circonstances du mouvement r^sultent des formules precedentes : lorsque le temps t augmente de la periode T, p, q, r reprennent les memes valeurs; puis, d'apres les formules (20), 0 redevient le meme, car cosO et sin8 ne s'annulent pas, et cp augmente de 2 7T, car, en suivant la variation de cp ou en calculant cp', on voit que cp augmente constamment si r^>o. Quant a Tangle ip, il augmente d'une constante : en effet, en appelant &(t) l'expression de en fonction du temps, telle qu'elle r^sulte de la fonnule (21), on a
