CHAPITRE XX. — MOUVEMENT D'UN SOLIDE

car v|/ est une fonclion de t qui admet la periode T; done, en integrant,

<b(t +T)= ^(#)-t- 4>h vj^ designant un angle constant.

389. Cas particuliers. — Nous avons suppose qu'aucun des trois binomcs A — D, B — D, C — D n'est nul. Des circonstances entierement diffe>entes se prcsentent dans Ie mouvement, suivant que Fun des binomes extremes, ou le binome moyen, est nul.

i° Soit d'abord C — 0 = o. Nous avons vu (n° 388) que cette condition nc peut etre remplie que si les valeurs initiates p0 et q0 sont nulles. Alors liquation

A/?2(A — GJ+Bg2(B — G) = hi2D(D — C) = o

montre que Fon doit avoir constamment p = o, q~o. L'axe instantane de rotation coincide done avec pendant toute la duree du mouvement. 11 a une position fixe dans le corps : il est cgalement fixe dans Fespace, car les deux premieres equations (20)

Xp = I sin B sin 9, B q = I sin 0 cos 9

montrent que, p et q etant nuls, 0 Fest aussi : Faxe instantane" coincide done avec Faxe Oz^ fixe dans Fespace. Le mouvement est alors une rotation autour d'un axe fixe. D'apres Fequation Cr = ZcosO. la vitesse de cette rotation est

Nous retrouvons ici la propriete des axes permaneuts de rotatiou. On suppose qu'a Finstant initial le corps tourne autour de Faxe Oz qui est un axe principal d'inertie relatif au point O : ce mouvement de rotation persiste indeTiniinent.

20 Si A — D = o, il fan t q0 = r0 == o ; on trouve alors q — r = o. L'axe instantane de rotation, fixe dans le corps, est dirige suivant Ox. Dans Fespace. il est aussi fixe et dirige" suivant Oziy

car, q et /• riant mils, les Equations (20) donnent 0 = — > <p —

Ij2 DYNAMIQUE DES SYSTEMES.

Le mouvement est done encore une rotation de vitesse angulaire constante p = p0 = ^ = P autour d'un axe fixe.

Le fail que, dans les deux cas, l'axe de rotation coincide avec tient a ce qu'on a choisi pour axe Ozi le moment resultant des quantites de mouvement Oc\ Le fait que, dans ces deux cas, la vitesse angulaire de la rotalion est fj. tient a ce que (u designe, en general, la projection de la rotation instantanee o> sur O7, et actuellement w coincide en direction avec Oc\

3° Soit enfin B — D = o ; en eiiminant q entre les deux premieres equations ( id), nous avons

(22) A/?HA - B ) — C r2 ( B — G) = ;j - D ( D — B) = o;

done, pour que le cas actuei se presente, il faut et il suffit qu'on ait au debut du mouvement

A/?jj(A — B) — Grg(B - G) = 63

e'est-a-dire

, /G(B-G) I'» = -r°Y A(A-BV

si cette condition est remplie, on aura constamment, d'apres (22),

ce qui montre que le lieu des axes instantanes dans le corps se r^duit au plan x = y z passant par l'axe moyen.

Dans le cas qui nous occupe, on a g=f='i±J le module

k-= J-~ se r^duit a l'unite, et toutes les integrations peuvent elre

effectuees par les fonctions elementaires. L'equation differentielle en s se reduit, en effet, a

d'ou Ton tire, en integrant et choisissant le signe -f-,

2 n( t — 10) = lo<

CHAP1TRE XX. — MOUVEMENT D'UN SOLIDE. Ij3

Posant, comme plus haut, t = n(t — on a done

Comme on a = y = les valeurs de p, q, r deviennent

q = JJL 5 = EJJL

s" sont encore egaux a + i. Nous mettons un facteur s devant la valeur de q, car, saivant qu'on prend dans ( 23 ) le signe -+ou le signe — , on trouve pour q une valeur ou celte valeur changed de signe. Si r0 est suppose positif, on prend e" = ^- i ; si, par exemple, p0 est ncgatif, s' — — i; alors la premiere Equation d'Euler exige e~ +i. Nous prendrons cette determination des signes. Lorsque t croit inde^iniment, on voit que q a pour limite p., tandis que p el r ont pour limites o; par consequent, l'axe inslantane" de rotation tend a prendre dans le corps une posilion limite qui est l'axe moyen de l'ellipsoide d'inerlie. Dans l'espace, eel axe tend d'ailleurs vers la direction O^i ou Ou du moment resultant des quanlites de mouvement, car les Equations (20) montrent que 0

doit tendre vers - et 9 vers zero; la limite de Oy est done bien OzK.

Le mouvement tend ainsi vers une rotation uniforme de vitesse angulaire \j. autour d'un axe fixe.

Si p et r etaient nuls a l'instant initial t = o, il faudrait dans les Equations (24) supposer la constante t() — ziz 00 ; alors p et r resteraient constamment nuls et q constamment egal a p. Dans ce cas, le corps commencerait a tourner aulour de l'axe d'inerlie Or et ce uiou\emenl subsisterait indefinimenl.

390. Cas ou l'ellipsoide d'inertie est de revolution. — Supposons que l'ellipsoide d'inertie soit de revolution, aulour de Ospar exemple, et soit par suite

1^4 DYNAMIQUE DES SYS TEMES.

G etant superieur a A et B, si l'ellipsoide est nplati, inferieur s'il est allonge.

Le module A 2 est alors nul etles fonctions elliptirjues deviennent circulaires. Tout d'abord, la troisieme equation d'Euler

se reduit a

la derniere des equations (20)

/ cos 0 = Gr = C /-0

monlre que 0 doit etre constant,

0 = 60, / cos 0O = G/-0 ;

quant a <b, la formule etablie precedemment

d<\> Hkp* -t- By')

donne ici

dfy £ .

dt ~ A '

varie done proportionnellement au temps. Ensuite la formule

donne

do d<\> . / C

^ = r°-^cos0o=,H1"" A

done cp varie proportionnellement a et Ton a

Enfin, les deux premieres equations (20) donnent /? et /• en fonction de £ par les fonnules

Ap — I sin 60 sin cp, A q = / sin 0o cos 9. INous avons vu precedemment (n° 382) que la rotation instan-