CHAPITRE XX. — MOUVEMENT D'UN SOLIDE

tanee w est la somme geoni(Hrique des Uois rotations 0', cp' et AJ dirigees respectivement suivant 01, 0-3 et Oz^. Actuellement, langle :03| est constant, 0' est nul, cp' et d/ sont constants. La

rotation instantanee co est la diagonale du parall^logramme construit sur <J/ et cp'; ce parallelogramme reste £gal a lui-meme pendant toute la dur^e du mouvement. Le lieu de 1'axe inslantane" co dans le corps est done un cone de revolution d'axe Oz\ le lieu de l'axe inslantane" dans l'espace est un cone de revolution d'axe Ozi.

Fig. 227.

Le mouvement fini s'obtient en faisant rouler le premier cone sur le deuxieme d'un mouvement uniforme {fig- 227).

3(.) 1 . Indications sommaires sur le calcul des neuf cosinus en fonction du temps. — Les expressions des neuf cosinus donnees par Jacobi {Journal de Crelle, t. 39) peuvent etre calculees par la voie elementaire suivante, qui se presente immediatement, et qui est a peu de choses pres celle qu'a suivit Somoff (Journal de Crelle^ t. 42). Nous avons deja obtenu 0 et cp en fonctions du temps par les formules (20); calculons <k Nous avons trouve

dfy tJ D A jji-h By2 dt ~~ 'J' A2/>2-b B2q- *

Posons comrae plus haut 1 = n(t, — tQ) ; remplacons, dans Pexpression d<\>

de - ^ > p et q par leurs valeurs (19) et cn2x par 1 — sn2x; nous avons

d^ (oD (B — C) — (B — ■ A) sn2dz ~ n A(~B — G) — G(B — A)sn2-r

ce (ju'on peut ecrire, en eflectuant ]a division,

d^ ixV ,oD (G— A)(B — G)

d- ~ nC + nC A(B — G) — G(B — A )sn2-"

Pour mettre en evidence les poles de la fonction doublemeut periodique du second mcmbre, determinons un argument constant ic ve'rifiant la relation

(25) sn2«c =

comme A > B, la valeur de sn«c est purernent imaginaire : on petit done prendre, pour ['argument ic, une valeur purernent imaginaire, et, par suite, pour c, une valeur reelle. Nous pourrons alors ecrire

M ,uD [jlD (G — A)(B — G) 1

dx ~ nC \nC G(B— A) sn'-t'c — sn'2-

D'apres les relations elementaires qui lient les fonctions sn, cn, dn d'un meme argument, on tire de (25)

Cn-lC = G( A — B)' dn"C = G( A — i))'

Extrayant les racines carre'es et tenant compte de la valeur de n, on trouve

... ;aD (C- A)(B-C)

1 sn ic cn ic dn ic = — --, tt—t; r-;

nC G(B — A)

II faudrait mettre un double signe devant le deuxieme membre; mais, comme on peut changer le signe de ic sans que les relations ante'rieures soient changees, on peut toujours prendre le signe -+■ devant le second

membre. L'equation qui donne s'ecrit alors

, „ (b\> u D i sn r'c cn ic dn ic

(26) ZT = —n H I

«x «L sn-fc — sn2x

Gette expression est maintenant aisee a integrer. On a, en effet, quels que soient les deux arguments u et v, Tidentite (voir, par exemple, Briot et Bouquet, Fonctions ellipliques, p. 49 4 )

(27) sn2w — $n-v = — 2 — : 2 — 5

qui donne, en prenant les derivees logarithmiques par rapport a u,

2sn«ciiwdnw 6'(w) W (u — v) H'(u -+- v) sn-u — sn-p " 6 (u ) H (a — v) H(u-i-v)

On a done en faisant u = ic, v = x, et designant par A la constante reelle — - — 1— —

aty , i W'(ic — z) i H'(ic + x) d- ~ A + 2 li (ic — t) 2 U (ic-hx)'