CHAPITRE XX. — MOUVEMENT D'UN SOLIDE
Integrant et supposant les axes choisis de telle facon que ^ s'annule avec x, on a etifin
i H ( if -U t }
(28) 64-xx-h-lo
Les trois angles 0, ©, 6 sont ainsi exprimes en fonction du temps, et l'on peut determiner la position du corps a un instant quelconque. Les sinus et cosinus de ces trois angles s'expriment par des fonctions du temps qui sont ou uniformes ou racines carrees de fonctions uniformes. Mais il est tres remarquable que les neuf cosinus a, (i, v, a', y', a", (3", y", sont des fonctions uniformes du temps. Ce resultal, du a Jacobi, peut s'etablir comme il suit. Les formules (20) donnent deja y, y', 7", en fonctions uniformes de t. On en conclut
sin 0 = J— —
Dfx
ou, en remplacant p- et q- par leurs valeurs,
Introduisant l'argument zc defini par la relation (25), puis tenant compte de l'identite (27), dans laquelle on fait u = x et v = ic, on trouve pour sinO une expression de la forme
. . v/H(t — ic) H(x -+- ic) sin 0 = v ■ 1
ou v est une constante dont il est inutile d'ecrire la valeur. On voit ainsi que sinO est la racine carree d'une fonction uniforme. En calculant e^, cos sin '1^ d'apres la formule (28), on trouve que ces fonctions dependent de la meme irrationnelle que sinO; cette irrationnelle disparait ensuite dans les combinaisons qui donnent «, a' a", [3, (37, [f.
On arrive encore a la meme conclusion en calculant directement en fonction de t l'expression
w = elty sin 0.
La differentiation donne
1 dw .d<b ,d% w dt dt dV
remplacant ^ par sa valeur (21) et 0 et par leurs valeurs deduites de
/ cosfJ = Cr, on trouve, pour — -jj ■> une fonction elliptique de t qui, par une quadrature, donne w en fonction uniforme du temps.
APPBI.L. — Traili dc Mccaniqnc. II. 12
lyS DYNAMIQUE DES SYSTEMES.
Si Von veut comparer le calcul precedent a celui de SomofF (Journal de Crelle, t. -42), il suffit de remarquer que I'argument appele ia par Jacobi et Somofl' est lie a ic par la relation
ia -+- ic — i¥J .
Le cadre de cet Ouvrage ne nous permet pas de developper davantage ces calculs. Nous renverrons, pour plus de details, au Memoire de M. Hermite : Sur quelques applications des fonctions elliptiques, ou se trouvent, avec des indications sur les travaux de Brill, Chelini, Siacci, deux methodes ditferentes pour calculer directement les neuf cosinus, et au Traite de Halphen (t. II).
Lorsque D = B (n° 389, 3 '), le module k ■ = i, les angles 0, o, et les neuf cosinus s'expriment par des fonctions elementaires. Alors, d'apres les
eT q — T
relations (24), la fonction $ = sn~ devient ^r ^ ou — ttangi?, et les
fonctions en- et dnx se reduisent a v/p — s 2 ou a r- • En introduisant
v cosi-
un argument purement imaginaire ic defini par la relation (25), e'est-
a-dire
tanfe c- Q(k By cos2c G( A — B)
on remplacera la formule (26) par
d<l ji.B tangc 1
d~ nC cos-c tang2c — tang2?-:
qui donne, en integrant et designant par a la constante -+- langc,
•l> = Xt log — r-^-
T 2 sin(c — i-z)
On deduit de la les expressions des neuf cosinus.
Lorsque A = B (n° 390), le module est nul ; sn-c se reduit a shit; nous avons donne, pour ce cas, les expressions de 9, j>, >l.
392. Representation geometrique du mouvement d'apres Poinsot.
— Dans un Memoire insere au Tome XVI du Journal de Liouville, Poinsot a donne une representation geometrique du mouvement, fondee sur les theoremes de Cinematique suivants, qui s'appliquent au mouvement le plus general d'un corps solide autour d'un point fixe.
Considerons l'ellipsoidc d'iner tie du corps relatif au point fixe O, et soient Ox, Oy, Oz les axes principaux de cet ellipso'ide. A un
