CHAPITRE XX. — MOUVEMENT DUN SOLIDE
instant quelconque, I'axe de la rotation instanlanee w rencontre la surface de 1'ellipsoide en un point m, que Poinsot nomine pole.
Theoreme I. — La force vive du corps est
Om~
En eftet, d'apres la definition me me de 1'ellipsoide d'inertie, lc
moment d'inertie du corps par rapport a l'axe Ow est 1 „ ■> et,
comme les vitesses des points du corps sont les memes que s'il tournait avec la vilesse angulaire w autour de Ow, la force vive im^2 est le produit du moment d'inertie par le carre de la vitesse
angulaire (n° 359)
Om
Theoreme II. — A chaque instant, le plan tangent a Vellipsolde dinertie au pole m est perpendiculaire au moment resultant Oo- des quantites de mouvement.
En effet, 1'ellipsoide d'inertie rapporte aux axes Oxyz a pour equation
A^2-h By>-+- Cz°-= i.
Les cosinus directeurs de Ow etant —?->-? les coordonnees x
CO tO CO
r. z du pole m par rapport aux memes axes sont
x = 0 i y = O m- •> z == O rn —
L'equation du plan tangent au point m(x, y, z) etant AX#-+-BYjK-hCZs = i,
celte equation devient
(2^l(KpX -4- BqY + GrZ) = i,
equation d'un plan perpendiculaire au vecleur Oo- dont les projections sont A/?, Bq. Cr.
Theoreme 111. La distance du point fixe au plan tangent
I Ho DYNAMIQUE DES SYSTEMES.
a Vellipso'Cde au pole est egale a la racine carree de la for ce vive devisee /jar le module du moment cinetique resultant.
En efFet, la distance o de l'origine 0 au plan tangent est
O m sj A-p- -+- B'2 q7- -h C- r-
ce qui demontre le theoreme.
Appliquons maintenant ces trois theoremes au cas particulier ou les forces appliquees au corps solide ont une resultante unique passant par le point fixe. Alors : i° la force vive est constanle et egale a A ou a Dp.2 ; on a done
2° le moment resultant Oa des quantit^s de mouvement a une direction fixe; le plan tangent a Tellipsoide en m a done egale-
ment une direction fixe perpendiculaire a Oct; 3° le moment
resultant Oo- ajant une longueur constanle / ou p.D, la distance du plan tangent en m au centre O est
elle est done constante.
En resume, le plan II tangent en m est fixe, car il a une orientation constanle et il est a une distance constante du point fixe O.
Nous arrivons done a ce resultat que l'ellipsoide d'inertie reste containment en contact avec un plan fixe II. Le point de contact m est le pole; la droite Om est Taxe inslantane, et la vitesse angulaire de rotation instantan^e est co = O m \/ h : elle varie proportionnellement a Om. Poinsot appelle polhodie la courbe d^crite par le pole mala surface de rellipsoide, et herpolkodie la courbe d^crite par le pole sur le plan fixe II {fig. 228). Le cone, lieu des axes instantanes dans le corps, a pour sommet le point O, et pour directrice la polhodie; le cone, lieu des axes instantanes dans l'espace, a pour sommet O et pour base l'herpolhodie. Pour oblenir le mouvement, il faut faire rouler le premier cone sur le second,
