CHAPITRE XX. — MOUVEMENT D'UN SOLIDE

de telle facon que la vitesse angulaire instantanee co soit a chaque instant proportionnelle a Dm, puisqu'on a

co = O m \}h.

Fig. 228.

Comme le point de i'ellipsoide, qui est en contact avec le plan fixe II. possede a chaque instant une vitesse nulle, parce qu'il est sur 1'axe instantane, on peut dire aussi que le mouvement s'obtient en faisant rouler et pivoter (sans glissement) I'ellipsoide

Fig. 228 bis.

(l'inerlie sur un plan fixe II. La position de ce plan fixe est connue par les conditions initiales.

On pent encore se representor le mouvement en supposant qu'on ait realist mal^riellement la surface conique roulante {fig- 228 bis) I i mitre par la polhodie : la roue ainsi formee roulc sur le plan II et sa trace sur le plan est I'lierpolhodie. Comme la polhodie roule snns glisser sur l'herpolhod ie, les arcs correspondants des deux courbes ont meme longueur.

Polhodie. — Cherchons les equations de la polhodie; a cet effet, rapportons l'ellipsoide d'inertie a ses axes. Nous pourrons definir Ja polhodie comme le lieu des points m(x, y, z) de cet ellipsoide ou le plan tangent

A^X 4- BrY + GsZ = i

est a une distance constanle o— de l'origine. Gette condition s'exprime par l'equation

Cctte Equation et celle de l'ellipsoide

(30) A x- -+- B y- -\- Gz- = 1

definissent la polhodie qui est ainsi une courbe algebrique du quatrieme ordre; on se rendra compte de sa forme en la regardant comme l'intersection de l'ellipsoide et du cone lieu des axes instantanes Om dans le corps ou cone roulant. Liquation de ce cone s'obtient par une combinaison homogene des deux equations ci-dessus. ce qui donne

Pour que ce cone soit reel, il faut que l'on ait

e'est la condition evidente que la distance du plan tangent a l'origine -j-z doit etre inferieure au grand axe et superieure

petit -j™ Le cone se reduit a deux plans imaginaires, e'est-a-dire

a une droite confondue avec Ox ou Oz lorsque l'on a D = A ou D = C; il est facile de le voir g^ometriquement, puisque les extr6"mit^s c, c' du grand et a, a' du petit axe sont les seuls points reels ou le plan tangent est a sa distance maxima 011 minima de l'origine. La polhodie est aiors formee de deux points c et c ou a et a! {fig. 229). Pour D = B, le cone se decompose en deux plan reels passant par l'axe mojen