CHAPITRE XX. — MOUVEMENT D^UN SOLIDE
Ge sont bien les plans que nous avons d£ja rencontres dans I'etude analytique du probleme; la polhodie est alors formed de deux ellipses ee' se coupant aux extremites bb' de l'axe mojen.
La polhodie est done ^intersection de l'ellipsoide et d'un cone du second ordre ayant les memes plans de symetrie. Elle se compose de deux branches fermees distinctes, symetriques Tune de l'autre, par rapport au centre et a l'un des plans principaux de rellipsoide : chaque branche admet comme plans de symetrie les
Fig. 229.
deux autres plans principaux de Fellipsoide {fig- 229) et possede quatre sommets i, 2, 1, 2 pour lesquels le rayon vecteur Om issu du centre est minimum 011 maximum. Dans le mouvement, une des branches de la polhodie roule sur le plan fixe II. Cette branche est seule utile; l'autre branche roule sur un plan sym^trique de II par rapport au point O.
II est important de se rendre compte des formes diverses de la polhodie suivant les conditions initiates. Representons rellipsoide d'inertie ( fig. 229). Comme nous supposons A >> B >> G, l'axe Ox est le petit axe, Oz le grand. Nous appellerons aa', 66', cc' les sommets de la surface. Suivant les conditions initiates, la constante I) varie entre A et G. Pour D = A, le cone lieu des axes
instantanes dans le corps sc roduit a l'axe Ox et la polhodie, intersection du cone et de l'ellipsoide, se roduit au point a et au symetrique a'. Qaand D diminue un peu, la polhodie se compose d'une petite courbe fermee / entourant a et d'une courbe symetriqne f entourant a' . D continuant a diminuer, les courbes f et f s'eloignenl de a et a', et, pour D = B, ces courbes se rejoignent aux points b et b' en se d^composanl alors en deux ellipses e et e' . De meine pour D=C, la polhodie se roduit aux deux sommets c et c' : D augmentant, elle est d'abord formee de deux petites courbes symetriques g et g' entourant ces sommets; puis ces courbes grandissent, et pour D = B elles se r^duisent encore aux ellipses e et e'.
II y a done deux sortes de polhodies : les unes entourent les sommets du petit axe, les autres les sommets du grand axe; ces deux sortes de polhodies sont s^par^es par la polhodie singuliere correspoudant a D = B, formee de deux ellipses e et e' . Par chaque point de la surface de Tellipsoide il passe une polhodie et *une seule; ces courbes etant supposees tracees, pour connaitre la polhodie correspondant a des conditions initiales donn^es, il suffit de connaitre le point m0 oii la rotation instantan^e initiale perce l ellipsoide; la polhodie cherchee est celle qui passe par m0. Quant au plan fixe II correspondant, e'est le plan tangent en m0 a l'ellipsoide dans sa position initiale.
II >,i polhodie. — Si Ton abaisse du point fixe une perpendiculaire OP (voir fig. 228) sur le plan II, la longueur OP est egale
a Le rayon vecteur P m — p d'un point de l'herpolhodie est done
Nous avons vu, d'apres la forme de la polhodie, que la distance Om du pole au centre varie entre un minimum et un maximum; done p varie egalement entre un minimum et un maximum correspondanls p4 et p2. L'herpolhodie est done comprise entre deux cercles concentriques de rayons p, et p2 qu'elle louche successivement en des points tels que m,, m2. Elle a la forme indiquee sur la figure 228; e'est une courbe tournant partout sa concavite
