CHAPITRE XX. — MOUVEMENT D'UN SOLIDE

vers le point I* et ne pr^sentant pas de points d'inQexion. Celte circonstance, remarquee pour la premiere fois par Hess [Inaugural Dissertation, Miinchen, 1880; Math. Annalen, t. XXVII, 1886), et retrouvee par M. de Sparre (Comptes rendus, 1884), me" rite d'etre signalee, parce que Poinsot, dans son Memoire, a figure" l'herpolhodie d'une maniere inexacte en lui donnant une forme sinueuse : on en trouvera une de" monstration dans un article de M. Pade (Nouvelles Annates, 4° serie, t. VI, juillet 1906).

L'arc d'lierpolhodie ^m, est le quart 1 , 2 de Tare de polhodie {fig- 228) ; lorsque tous les points de la polhodie sont venus successivement en contact avec le plan, le pole m reprend la meme position sur l'ellipsoide; mais, dans le plan II, le rayon vecteur

P i)i a tourne d'un angle egal a 4miPm2 puisqu'il y a quatre sommets sur la polhodie. Si cet angle W|Pm2 n'est pas commensurable avec 7T, l'herpolhodie n'est pas fermee; le pole ne reprend jamais exactement la meme position, en meme temps, sur l'ellipsoide et sur le plan. Si cet angle est commensurable avec 7r, l'herpolhodie est fermee, et, au bout d'un certain temps, le pole reprend la meme position sur l'ellipsoide et sur le plan.

Cas particuliers. — Si D = A ou D = C, la polhodie est un point, l'herpolhodie egalement : l'ellipsoide pivote en restant en contact avec le plan par le sommet du petit ou du grand axe.

Si D = B, la polhodie est reduite a deux ellipses ee\ passant par l'axe moyen. Le petit axe d'une de ces ellipses, comme on le

vcrifie facilement, est l'axe moyen — — . Dans ce cas, le mouvement

s'obtient en faisant rouler l'une de ces ellipses, dont le centre est fixe, sur le plan II; comme ce plan est a une distance du centre

6"gale a -"— , le minimum p2 du rayon p = V m de l'herpolhodie est

mil: le maximum a une certaine valeur p4. L'herpolhodie a alors la forme d'une double spirale ( fig. 23o), ayant un sommet T corres pond ant au maximum de p et composee de deux branches syme- Iritjues par rapport a PT et asymptotes vers le point P. Une pai tie settlement de cette herpolhodie est elfectivement parcourue; c'est celle qui va de la position initiale m„ du pole jusqu'au j)oint P, dans un sens ou dans l'autre. Le temps que met le pole a arriver

en P est'infini, quoique la longueur de la spirale soit finie comme egale au pcrimetre de l'ellipse roulanle.

Quand l'ellipsoide est de revolution, la polhodie et l'herpolhodie sont des cercles. S'il est une sphere, ce sont toujours des points.

Fig. 23o.

Stabilite de la rotation autour des axes principaux. — Dans les cas particuliers oii le corps commence a tourner autour d'un des axes principaux d'inertie, ce mouvement persiste indefiniment; l'axe instantan^ est fixe dans le corps et dans l'espace. II est ais6 de voir que ce sont les seuls cas oft l'axe instantane reste fixe dans le corps. En effet, s'il en est ainsi, on a, en appelant a, b, c les cosinus directeurs de l'axe instantane par rapport aux axes Oxyz,

p = aw'} q — 6oj, r = coj,

oii a, 6, c sont constants. Alors l'integrale des forces vives (12) montre que co est constant; les trois composantes p, q, r sont done constantes, et les equations d'Euler donnent

(C-B)gr

(A-C)rp

(B-X)pq

Si l'ellipso'ide d'inertie n'est pas de revolution, ces Equations exigent que deux des quantites p, q, r soient nulles, e'est-a-dire que le corps tourne autour d'un axe principal. Si l'ellipsoide est de revolution autour de O^, A = B, ou bien r est nul et le corps tourne autour d'un axe dans le plan de l'equateur, e'est-a-dire