CHAPITRE XX. — MOUVEMENT D'UN SOLIDE
aulour d'un axe principal, ou bien p = q = o, et le corps tourne autour de I'axe principal Oz. Enfiu, dans le cas A = B = C, Le corps tourne autour d'un axe principal, car tous les axes sont principaux.
On peut se deinander inaiutenant si le mouvement de rotation du corps autour d'un des axes principaux d'inertie est un mouvement stable ou non. On dit, en general, qu'un mouvement est stable, si en modifiant infiniment peu d'une maniere arbitraire les conditions initiates, on modifie infiniment peu le mouvement; un mouvement est instable, si une modification infiniment petite dans les conditions initiates amene un changement fini dans le mouvement.
D'abord, si A >> B > G, la rotation autour du grand et du petit axe de 1'ellipso'ide d'inertie est stable; elle est instable autour de l'axe moyen. En effet., animons le corps d'une rotation initiale autour du petit axe; alors cet axe reste fixe, le pole de rotation coincide avec le sommet a0, le plan tangent no en a0 est fixe. Si Ton modifie infiniment peu les conditions initiates, en imprimant au corps une rotation initiale autour d'un axe infiniment voisin de Oa0, la polhodie devient une petite courbe ferm^e infiniment voisine du sommet du petit axe : done l'axe instantan^ d^crit dans le corps un cone d'ouverture infiniment petite autour de sa position primitive dans le corps. Le plan fixe II, auquel l'ellipsoide reste tangent dans le nouveau mouvement, est infiniment voisin de no, et la perpendiculaire OP, abaissee de O sur ce plan, est infiniment voisine en longueur et direction de Oa0; le ra}ron vecteur Om d'un point m de l'herpolhodie ajant une longueur infiniment voisine de Oa0 s'ecarte infiniment peu de la perpendiculaire OP, e'est-a-dire de Oa0 : done l'axe instantane demerit aussi dans Tespace un cone infiniment voisin de sa position primitive dans l'espace; la rotation consid6ree est done stable. II en serait de meme de la rotation autour du grand axe.
Mais, si le corps tourne d'abord autour de l'axe moyen, une modification infiniment petite des conditions initiales amenera le pole dans une position m0, a partir de laquelle il decrira une polhodie enlourant, soit le sommet a, soit le sommet c; l'axe s'ecartera alors d'une quantite finie de sa premiere position; la rotation est instable.
Les ellipses ee el e'ef {fig- 229) partagent l'ellipsoide en quatre fuseaux : deux contenant les sommels a et a' et les deux autres les sommets c et c'. Suivant une reruarque de Bour, il est naturel de prendre comme mesure de la stability de la rotation autour de l'axe Oa Ie rapport de l'aire du fuseau contenant a a la moitie de l'aire de l'ellipsoide d'inertie. En effet, si les conditions initiates sont modifiers de telle facon que le pole tombe dans ce fuseau, l'axe instantane decrit dans le corps un cone autour de sa direction primitive Oa. De raeme, on mesurera la stabilite de la rotation autour de Oc par l'aire du fuseau qui contient cet axe. Par exemple, si l'ellipsoide est tres voisin d'un ellipsoide de revolution autour de Oz, e'est-a-dire si A — B est tres petit, le fuseau contenant a est tres petit, de sorte que la stabilite de la rotation autour de Oa est faible, car un petit d^placement de l'axe peut faire sortir le pole du fuseau et l'amener a tourner autour de Oc.
Si l'ellipsoide est rigoureusement de revolution (projectiles oblongs), il n'y a de stable que la rotation autour de l'axe de revolution : en effet, si le corps tourne autour d'un axe principal du plan de l'equateur et que, pour une cause quelconque, le pole m soit un peu ^carte- de ce plan, il ira d^crire sur la surface de l'ellipsoide un cercle parallele et presque ^gal a l'equateur. L'axe dans le corps s'^carte done beaucoup de sa position primitive : ii est bon de remarquer que dans l'espace il reste tres voisin, au contraire, de sa position primitive, car la longueur Om differe peu du rayon equatorial.
Si rellipsoide d'inertie est une sphere, tous les axes sont egalement stables, ou plutot indiflerents, car, si l'axe instanlan^ est porte du lieu ou il se trouve dans un autre, il redevient immobile et dans le corps et dans l'espace. ( Voyez Bour, Dynamique, p. 1 65 . )
393. Equation de l'herpolhodie. — Poinsot obtient 1'equation diflerentielle de l'herpolhodie ea remarquant que l'expression de Tare de cette courbe en fonction du rayon Om est identique a l'expression de Tare de polhodie en fonction du meme rayon, car les deux courbes roulent 1'une sur l'autre. Nous emploierons une autre methode qui conduit a des calculs un peu moins longs et que nous empruntons a une Note de Darboux a la Mecanique de Despeyrous.
