A-D)(B-D) C~ ABD

jx2=BC^B)(p!a)) r!=CACA-C)(p8 6)i

(34> I 32=^zA2(p2 c).

Nous avons suppose A > B > G et D compris entre B et G; alors A est negatif, et Ton a a > o, b > o, c < o. Done z2 est essentiellement posilif et ne s'annule jamais, ce qui est d'accord avec le fait que r ne s'annule jamais. Pour que x2 et y* soient posi ti fs. il faut que p2 — a soit positif et

p2 — I, negatif : p- oscille done entre a et b. On retrouve ainsi ce resultat que le rayon vecteur de l'herpolhodie oscille entre un minimum \Ja et un maximum \lb. En diflerentiant la premiere des equations (33), on a

do dx dy dz 9 -r — x — — h y - f -h z —r r dt dt dt dt

ou, en tenant compte des equations (32)

dp ,-- /B — C C — A A-B\ Hsjhxyz

dt=fkxyZ\—T- + ~ B ■ G /" ABC

cette equation donne enfin, en remplacant x, y, z par leurs valeurs (34), et \l h par ;jl \JD,

(35 ) o ^ = p y/5 ( p* « ) ( pi 6 ) ( p2 - c),

equation qui permettrait de retrouver p2 en fonction de t par une fonction elliptique; cette expression de p2 en fonction de t nous est deja connue. puis [ue x, y, z sont des fonctions elliptiques de t.

Pour obtenir une autre equation ou figure l'angle polaire / d1un point de l'herpolhodie, on part de la remarque suivante : si m et m sont deux positions infiniment voisines (x, y, z) et (x -+- dx, y •+- dy, z ■+■ dz) du pole dans le corps, le plan du triangle elementaire mO ni est tangent au cone lieu des axes instantanes dans le corps, et les projections Sx, Sv, Sde l'aire S de ce triangle sur les plans principaux de Pellipsoide sont

2S.v = ydz — z dy, 2 S v = z dx — x dz, iSz=xdy — y dx.

D'autre part, comme le cone lieu des axes Om dans le corps roule sur le cone fixe ayant pour sommet O et pour base Therpolhodie, le plan mOrn' est aussi tangent au cone fixe, et 1'aire elementaire S est aussi egale a l'aire comprise entre les deux generatrices infiniment voisines correspondantes du cone fixe. La projection de l'aire S sur le plan n qui contient l'herpolhodie est alors un secteur elementaire de cette courbe ~ 0- dy .

Comme les plans xOy, yOz, zOx font avec le plan II, perpendiculaire a Oa, des angles dont les cosinus sont y, v'3 on a

(36) p2 dy^ = 2yS.x.-i- 2y'Sv -t- 2 ywS- ;

calculons le second membre. D'abord

Puis, en vertu des equations (32) deduites des equations d'Euler,

2 Sx = y dz — z dy = [ B ( A - B ) y 2 -+- G ( A - G ) z 2 ] dt ;