CHAPITRE XX. — MOUVEMENT D UN SOLIDE. igi
la quantite entre crochets est egale a A — D, comme on le voit en eliminant x- entre les deux dernieres equations (33). On a done
x \JTi( A — D ) 2bx~ BC dt-
Galculant do meme Sv, S- par une permutation des lettres et portant dans (3G) apres avoir remplace \Jh par \x y/D, on a
dy /A — D , B — D" , G — D 0
Dans cette relation, nous remplacerons enfin x2, j'2, z- par leurs valeurs (34) en fonction de p2 ct nous aurons, apres reduction, une relation de la forme
, ... , (A — D)(B — D)(C — D) mi L designe la constante . -•> c est-a-dire
— y — abcl).
Les deux relations (35) et (38) donnent p et ^ en fonction du temps. L'elimination de dt fournit I'equation differentielle de l'herpolhodie
09) (^E)df
qui donne ^ par une quadrature. On peut ainsi construire Pherpolhodie et verifier qu'elle n'a pas d'inflexions, en calculant le rayon de courbure en fonction de p et montrant qu'il ne devient jamais infini. Ce resultat tient a Tinegalite A < B -+- G qui lie les trois moments d'inertie. On voit
dy
egalement que l'herpolhodie n'a pas de points de rebroussement, car — ^
ne devient pas nul pour les valeurs de p2 comprises entre a et b. Si l'on remplacait l'ellipsoide d'inertie par un ellipsoide quelconque ou par un h \ perboloi'de qu'on ferait rouler et pivoter sur le plan fixe n, Therpolhodie correspondent 6 pourrait presenter des inflexions ou des rebroussements ; il pourrait aussi arriver que le rayon vecteur Pm ne tourne pas toujours dans le meme sens. Nous renverrons, pour une discussion plus detaillee de cette question de Geometrie, a la Note de Darboux {Mecanique de Despeyrous); au Memoire de Hess; et, pour l'expression de % en fonction de t, au Traite de Greenhill (Chap. III).
Dans le ras particulier ou B = D, E est nul, a et c aussi, et la quadrature qui donne / peut s'efTectuer a l'aide des fonctions elementaires. Alors
et en faisant \jBb = X,
C'est la I'equation dc la spirale representee dans la figure 23o.
On peut egalement obtenir les equations (35) et (38) en partant de cette remarque que la vitesse absolue avec laquelle le pole m decrit l'herpolhodie est egale, a chaque instant, a la vitesse relative par rapport aux axes O xyz avec laquelle le point M decrit la polhodie : ce fait resulte de ce que les arcs correspondants des deux courbes sont egaux. On obtient alors les deux equations en ecrivant que les projections de ces deux vitesses sur Pm sont egales et que les moments de ces deux vitesses, par rapport a OP, sont egaux.
Herpolhodo graphe de Darboux et Kosnigs. — On a fait a la representation de Poinsot le reproche qu'elle ne represente pas le temps. Effectivement, si Ton avait realise materiellement les deux cones de
sommet 0 ayant pour bases la polhodie et Fherpolhodie, et si, par un engrenage, on les obligeait a rouler Pun sur l'autre, on n'aurait pas encore la representation complete du mouvement, car il faudrait, en outre, imprimer au cone roulant une vitesse angulaire instantanee, qui flit a chaque instant proportionnelle a 0 m. Darboux a montre (Note a la Mecanique de Despeyrous) qu'on peut construire un appareil realisant cette condition, en associant la representation precedente du mouvement avec une autre representation qui est aussi due a Poinsot.
Soient, comme precedemment, m le point de contact de rellipsoide d'inertie avec le plan II, P la projection du centre 0 sur 11. Menons par le centre 0 {Jig- 23i) de rellipsoide un plan IT' parallele au plan fixe II, et appelons m' la projection de m sur II'. La rotation instantanee 10 = O m \] h dirigee suivant O m pent etre decomposed en deux, Tune dirigee suivant OP ayant la valeur constante ;jl = OP.\/h, l'autre dirigee suivant O m' egale a 0 m' . \Jh. Si done Ton imprime au plan II une rotation constante \x.
Fig. 23r.
