IF =,TT
ce point etant dans le plan II' parallele au plan tangent en m a Pellipsoide, 011 a aussi
Axx'-±- Byy'-+- Czz' = o.
Appelons X la valeur commune des rapports i'4o) et portons dans (40 les valeurs de x', y', z' tirees de (4o); il vient
Ax--+- By'- Gz* -+- X ( A°- + -+- C*~ z"- ) = o.
D'apres les equations (29) et (3o) de la polhodie, le premier terme de rette relation est 1, le deuxieme XD; on a done
et les relations (4o) donnent, pour les coordonnees de
x ~x d ' y=y-vr> s=*— •
On peut ainsi deduire le lieu des points m du lieu des points m. Comme la polhodie, lieu du point m, est sur le cone
A a?*(A — D) + Ky-(V> — D)-h GjS*(G — D) = o, 4pphll. — Trait r de Micanlque. 11. 18
on voit que le point rri' est sur le cone (C) :
v A*'2 By* Gz*
^ A~^nT IT^T) Cf-^D = °'
Telle est l'e'quation du cone (C), lieu des droites 0 m' dans le corps; il est bien du second ordre.
Ge point etant etabli, revenons au mouvement. En rapprochant les deux modes de representation du mouvement donnes par Poinsot, on voit que, pendant le roulement de l'ellipsoide central sur le plan fixe 11, le cone(G'/) invariablement lie au corps, roule sur le plan 11', tandis que celui-ci toui ne avec la vitesse angulaire constante jjl autour de OP.
Alors, supposons le cone (G')dc sommet fixe O et le plan II' realises materiellement, le plan II' pouvant tourner autour de OP et le cone (C) etant, a 1'aide d'un engrenage, assujetti a rouler sur le plan II'; supposons d'autre part la polhodie realisee materiellement sur rellipsoide et assujettie, par un engrenage ou par un frottemeut considerable, a rouler sur le plan II; enfin imaginons le corps solide anime de son mouvement : il entrainera le cone (G') qui, en roulant sur le plan II', obligera celui-ci a tourner avec une vitesse angulaire constante. Inversement, si Ton oblige, par un mecanisme d'horlogerie, le plan U' a tourner autour de OP avec une vitesse angulaire c nstante, ce plan entrainera le cone C' qui, a son tour, obligera la polhodie a rouler sur le plan II conformement a la loi du mouvement. C'est d'apres ces principes que Darboux et Kcenigs ont fait construire un appareil, Vherpolh dographe, qui fournit une realisation cinematique complete de toutes les circonstances du mouvement d'un corps solide. Nous n'insisterons pas sur les details de construction de cet appareil dont on trouyera une description dans un article de G. Kcenigs (Revue generate des Sciences, 3o avril 1891 ; Carre). Terminons par une remarque due a G. Kcenigs (Bulletin de la Societe tnathematique de France, t. XVIII, p. i63 et i3i). La loi de la vitesse etant le but essentiel de l'appareil, il est a souhaiter que les variations en soient assez sensibles pour etre percues a Pceil. Malheureusement, il se trouve qu'on est tres limite a cet egard. Si Ton fait rouler sur un plan un ellipsoide quelconque dont le centre demeure fixe, suivant la loi de Poinsot, c'est-a-dire avec une vitesse angulaire proporiionnelle au diametre du point de contact, le rapport de la plus petite valeur de la vitesse angulaire a la plus grande peut prendre toutes les valeurs voulues entre o et 1. II suffit de choisir convenablement rellipsoide et le plan sur lequel il roule. On peut ainsi obtenir des variations de vitesse angulaire allant du simple au double ou au quintuple et tres facilement perceptibles. Mais, dans le cas du mouvement d'un corps solide, rellipsoide roulant est un ellipsoide d inertie, et Ton a A < B + G. Gette inegalite limile le choix qu'on peut faire de rellipsoide roulant, et il arrive que le rapport de la plus petite valeur de la vitesse angulaire a la plus grande r-st alors necessairenient
