III. — MOUVEMENT D'UN SOLIDE PESANT AUTOUR D UN POINT FIXE

394. Integrates fournies par les theoremes generaux. — Soit un corps soli.de pesant mobile autour d'un point O. Prenons comme axes fixes trois axes Oxiyi&t, l'axe Ozt etaut vertical

igG DYNAMIQUE DES SYSTEMES.

vers le haul, et comme axes mobiles Oxyz ties aux corps, les trois axes principaux d'inerlie relatifs au point O, avec les inernes notations que precedemment. Appelons M la masse totale du corps; Ei, K\ ^es coordonnees de son centre de gravite G par rapport aux axes fixes; E, yj, £ les coordonnees du meme point G par rapport aux axes mobiles : ces dernieres coordonnees \, : sont (Widemment des constantes. On peut alors ecrire les deux integrates premieres suivantes :

i° Integrate des forces vives. — La force vive du corps etant A./?2-h B<72+Cr2 et la seule force agissant sur le corps e*tant le poids Mg applique" en G, on a

(44) tLp*r*-Bqz+Cr* = —2MgZ)l-+-k.

2° Integrate des aires. — Les forces exterieures agissant sur le corps sont la reaction du point fixe qui rencontre O^t et le poids Mg parallcle a Os4; la somme de leurs moments par rapport a Os1 est nutle : la somme des moments cinctiques par rapport a O^i est done constante ; le theoremedes aires s'applique

a la projection du mouvement sur le plan XiOj\. Nous avons vu

que le moment resultant Oc- des quantites de mouvement a pour

projections A/?, Bq, Cr sur les axes Ox, Or, Oz : ce moment a

done pour projection, sur Oz^ ,

cette projection £tant constante, on a la deuxieme integrale

(45) ApYH-Bgry'-h Oy*=K.

On ne connait pas d'autre integrale premiere que ces deux-la dans le cas ou le corps est quelconque et le centre de gravite place d'une maniere arbitraire. Ce n'est qu'en faisant des hypotheses particulieres sur la nature du corps et la position du centre de gravite qu'on a pu trouver une troisieme integrale. Les cas particuliers ainsi completement resolus sont les suivants :

i° Cas d'Euler et de Poinsot. — Le corps est quelconque,