CHAPITRE XX. — MOUVEMENT D'UN SOLIDE

mais le centre de gravite est au point fixe O. C'est le cas traite dans le paragraphe precedent.

2" Cas de Lagrange et de Poisson. — L'ellipsoide d'inertie relatif au puint fixe est de revolution : le centre de gravity se trouve sur l'axe de revolution.

3° Cas de M"lC Kowaleski. — L'ellipsoide d'inertie relatif au point fixe est de revolution autour de Os par exemple : le centre de gravite est dans le plan de l'equaleur (£ = o), et Ton a

Nous allons trailer en detail le cas le plus simple, celui de Lagrange et de Poisson. L'ellipsoide d'inertie en O est suppose de revolution, et le centre de gravity sur l'axe de revolution.

31>5. Cas de Lagrange et de Poisson. — Prenons pour axe Oz l'axe de revolution de l'ellipsoide d'inertie relatif au point O. et prenons comme sens positif sur cet axe le sens OG, allant de l'origine au centre de gravite G. Alors A == B. £ = r} = o, £ >> o. On a de plus — ?cosO, puisque 0 est Tangle de Oz avec Oz-i. Voyons d'abord ce que deviennent les deux integrates (44)et(45) qui existent toujours. D'abord, le theoreme des forces vives nous donne

(46) &(p*-+- <p) 4 C^ = -2M^ + h = — aM^-'CcosO -+- h.

Puis, en ecrivant que la projection du moment resultant Ocj des quantites de mouvement sur l'axe des zx est une constante K, on a, d'apres (45), en se rappelant les expressions de y, y', y" en fonction do 0 et cp,

i 7 Ap sin 0 sin cp -h A q sin 8 cos o + Cr cos 0 = K.

Nous joindrons a ces deux integrales l'equation d'Euler,

G§ + (B- A)jPSr = N)

qui se reduit ici a

( ,8) — = o on /• = r0,

puisque B — A et N sont nuls. Ces trois Equations peuvent s'ecrire

■+- q*= a, — a cos 0, sin sin o + y cos 9) = p — br0 cosO, r = r0,

a, 6, a, [3, etant des constantes, donl les premieres, a, b, sont des constantes, positives detcrminees, puisque leurs valeurs sont res-

pectivement ft el -p et les deux autres, a et (3, des constantes arbitral res.

Nous supposons dans ce qui suit r0 different de zero : si /*0 etait nul, le rnouvement de I'axe Oz du corps serait identique au mouvement du fil d'un peudule spherique (n° 277).

Les angles 9, 0, aj sont lies a p, q, r par les relations

p = sin 0 sin o h — — cos 0 , 1 dt dt ' '

</ = -± sin (J cos 9 sin 9,

d\ do r = -j- cos 8 -h -r- •

En portant ces valeurs dans les equations ci-dessus, elles deviennent

sin!,)(^)^(^)'J=a-rt

cosO.

(4o) \ s*n2^"^" = P — 6rocos0,

cosO -4- -j- == /•„.

L'elimination de entre les deux premieres nous donnera liquation en 0

( P — 6r0cosO)°--h sin^O ^ V= si»2e(a — a cos 0) 011, en posant cos 6 = u,

(^) = (*-au)(i-ut)-{$-br0uy-=f{u)-