CHAPITRE XX. - MOUVEMENT D'UN SOLIDE
la scconde equation donne d'ailleurs
et la troisieme
dty $ — br0u
<lt I — u-
dt
Le polynome J\u) est negatif pour les valeurs — 00 , — 1 el + 1 de m, tandis qu'il est positif pour la valeur initiale u0 de u,
qui rend n^cessairement ^ rt^el, et pour u = -+- 00 ; il a done ses
trois racines Ui, u^, u' replies et comprises respectivement dans les intervalles
(— 1, uq) (u0} -hi) et (+1,-4-00).'
fci
Fig. 202.
Nous pouvons alors £crire
f(u) = a (11 — lii ) (m2 — u)(u' — u ) ;
le dernier facteur est essentiellemenl positif, puisque u. etantun cosinus, reste toujours compris enlre — 1 et -f- 1 ; u partant de u0) qui est compris entre us et w2, doit demeurer dans l'intervalle Ui% u2 pour que /( u) reste positif; il en resulle que Tangle 0 oscille entre les angles limites 01? 02(01>02) dont les cosinus sont us el ua,; quand u augmente de us a u2} il faut prendre
du
puis quand u diminue de u2 a ut ; il faut prendre le signe — .
Si done on decrit (fig. a3a), aulour de Oct coinme axe, deux cunes de revolution d et C2 de sommet O et de demi-angles aux
soinmets 04 el 02, I'axc Oz sera cons Lam meat compris entre ces deux cones. Pour faire la figure, decrivons de O comme centre une sphere de rayon cgal a Tunit^; les traces des deux cones C, et Co sur cette sphere seront deux cercles d et 0, de pole z^ en appelant Zi le point ou l'axe Ozi perce la sphere. Le point z, ou l'axe de revolution Oz perce la sphere, a pour cote u : il est toujours compris entre les deux cercles et decrit une courbe qui va de Tun a l'autre. Quand ces deux cercles sont tres rapproches. l'axe du cone decrit approximativemenl un cone de revolution aulour de 0<3<; quand les conditions initiates sont telles que ces deux cercles soient confondus (?^1 = w2), l'axe Oz decrit rigoureusement uq cone de revolution autour de 0~,. En general, la courbe dccrite par z est tangente aux deux cercles et C2. En efFet, d^finissons la position du point z sur la sphere pai Tare vecteur zK z — 6 et par Tangle polaire x± Zi z = ^ que fait zK z avec le m^ridien Zix±. Cet angle est mesure sur le grand cercle de pole Zi par 1'arc X\ n. Comme la droite 01, qui fait Tangle 'b avec
Oxii est perpendiculaire au plan ZiOz, Tare ill a pour valeur — et Ton pent prendre
Comme
du cfy dty (3 — br0u
~di = vf(ll\ de = di = i — '
on a, (Himinant dt,
(54) dy=
(3 — br0 it ) da
equation diffe>entielle de la courbe lieu du points. Cetle equation donne ^ en fonction de u, e'est-a-dire en fonction de 0 par une quadrature.
L'angle V que fait la tangente a la courbe spherique lieu de z avec Tare vecteur z±z est
r sin 0 d/
tan!?V=— ^
e'est ce qu'on voit immddiatement en considerant le triangle rectangle zmz' forme" par un arc infiniment petit de la courbe zz\
