AME

Lorsque cet angle / sera donné , il fera connaître la position du plan CME ,. et l'angle y achèvera ea* suite de déterminer celle de la droite M]> comprise dans ce plan. U faudra que l'angle J" soit compte> à partir de MA^ dans un sens convenn^ et qu'il puisse s étendre depuis zéro jusqu'à 56o*; l'angle y ne s'étendra toujours que depuis zéro j^usqu^ 180P..

INTRODUCTKMf. 9

La projectioii sur le plan AMB de .la diagonale du parallélépipède précédemment iodiqaé (n"" 6) sera le cosinus de l'angle DME^ ou égale à sin ^. Si Ton projette de nouveau cette projection sur Taxe MA, cette seconde projection se déduira de la première, en la multipliant par cosj^; elle coïncidera , d'ailleurs , avec la projection de la diagonale du parallélépipède sur ce même axe MA , et sera , conséquemment , égale à cos a ; par conséquent ,

on aura

cos et s=s siny cos cT.

On trouvera de même

cos € = smy sin J^;

et ces denx formules serviront h transformer les équations où Ton aura fait usage des angles a, Sf y, en d'autres où l'on n'emploiera plus que ^ et /• On vérifie immédiatement qu'elles satisfont à l'équation (i).

9* n existe une autre équation qui opimprend ^ comme cas particulier, cette équation (i), et qui nous sera souvent utile.

Pour la former, soient x, jr, z, les coordonnées d'un point qudk:onque M ( fig. 2 ) rappoitées aux trois axes rectangulaires Ox, 0/, Oz. Appelons r son rayon vecteur OM, et cl^ €, y,]es angles aigus ou obtus que fait ce rayon avec les trois axes , de sorte qu'on ait , par exemple ,

zOM = y.

Si V<m abaisse du point M une perpendiculaire MN

lo TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

sur Taxe Oz, la droite ON sera l'ordonnëe z, et dans le triangle rectangle MON , on aura

z = r cos y ; on trouvera de même

jr z=2 r cos € , X z=i r cos a.

Soit M^ un autre point, et désignons par x'j y, z\ r', cl\ €\ y', ses coordonnées , son rayon vecteur et les angles relatifs à cette droite ; nous aurons aussi

x' == r' cos a\ ^ = r' cos C, z' = / cos y\

Appelons u la distance MM'; on aura, comme on sait,

u^ = {x'^xy+{y^ry+{z'—zy;

et si Ton représente par s l'angle MOM', on aura en même temps

if'= r* + r'* — 2rr^ cos c,

dans le triangle dont r, r^, u, sont les trois côtés. A cause de

la première valeur de u* est la même chose que

j^*= r* + r'' — a (xx'^jy + zz') ; en la comparant à la seconde, on en conclura

rr^ cos € s= xx^ -j- JT^ H* ^^' i

et si Ton substitue dans cette équation les valeurs précédentes dex,jr^z, x', /, z% il en résultera

cos £ = cos et cos a' -f- cos C cos C + cos y ces y ; (a)

ce qu^il s'agissait de trouver.

Lorsque les deux droites OM et OM' coïncident , les angles a', Ç»\ y\ sont les mêmes que cl, C, y^ ci cette formule se réduit à l'équation (i). Quand ces deux droite^ sont perpendiculaires Tune à l'autre, on a £ = 90"* , et par conséquent

cos €L cos a!mM»£ -f%cos f + cos y cos y' = o.

En mettant dans les valeurs àe x,jr, z, celles de cos €t et cos Q, qu'on a trouvées dans le numéro précédent, on aura

j:=rsin7'C0sJ^, ^=rsin5/ siucT, 2 = rcos3^;

formules dans lesquelles les trois variables r, y, ^ sont les trois coordonnées polaires du point M , telles qu elles ont été définies dans le n*^ 4> ^^ fP^ serviront, par conséquent , à transformer les coordonnées rectangulaires en coordonnées polaires.

lo. La considération des projections dont on s'est servi dans le n"* 8, sera souvent employée dans cet ouvrage ; il convient donc d'exposer ici leurs premiers principes*

La projection d'une droite sur une autre droite est la partie de celle«ci qui est comprise entre les pieds des perpendiculaires abaissée» des deux extrémités de la droite projetée. Ainsi , les différences oc? — x , y^-^jy ^—2^ des coordonnées extrêmes sont les projectionsde la droite MM' sur les axes às&Xyy, z; et, d'après la première valeur de u*, la somme des carrés.des projections d'une même droite sur trois axes rectangulaires

la TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

est égale au carré de ^ette droite. Si la droite projetée et celle sur laquelle on la projette sont dans un même plan, la projection est égale et parallèle à la base d'un triangle rectangle, dont la droite projetée est rhypoténuse ; en sorte que si Fou désigne par / la longueur de cette droite, par X celle de sa projection, et par i Tangle de ces deux droites, on a

X = / cos L

•lia projection d'une surface plane sur un autre pian, est la partie de ce plan terminée par la projection du contour de la surface projetée, c'est-à-dire, par la courbe que forment les pieds des perpendiculaires abaissées de tous les points de ce contour. Or, l'équation précédente subsiste encoi^ , si l'on y met à la place de l l'aire de la surface projetée , et an lieu de A l'aire de sa projection ; î étant alors l'inclinaison d'un pla» sur l'autre, pour laquelle on peut aussi prendffe l'angle compris entre les perpendiculaires kccAé/tmÊÊ plans.

£n effet, décomposons l'aire de la sur&ce ptojetét %a démens d'une largeur infiniment petite et pev^ pendiculaires à l'intersection de son plan et de oefan sur lequel on la projette; la projection de chaque élément sera égale à cet élément multiplié par le cosinus de leur incUoaison mutuelle; par conséquent, cette inclinaison étant la même et ^ale à i pour tous les élémens, la sonoune de leurs projections, <m A, sera égale à leur somme, ou à l'aire totale l multi-* pliée par cos ê; ce qu'il s'agissait de prouver. On con« dut de là que le carré de l'aire d'une surface plane

INTRODUCTION. i3

est égal à la somme des carrÀ de ses projectioDS sur trois plans rectangulaires, en prenant pour Findînai* son sur chaque [Jan 1 angle que fait la normale à la surface donnée avec les perpendiculaires à ce plan , et ayant égard à l'équation (i).

1 1 • Lorsque dans une question , on considérera un système de forces parallèles , on pourra supposer que lun des trois axes rectangulaires MA, MB, MC, (fig. i'^), leur est aussi parallèle. Alors deux des trois angles a, ^, ^^ les deux derniers , parexemple, seront droits pour toutes ces forces; et lequation (i) sa réduira à

cos' azsz i }

d'où Ton tire ct±=o ou a= I8o^

De cette manière, la direction de chaque force seclit fixée, en disant qu'elle fait avec Taxe MA un nmle nul ou un angle de i8o®; mais dans ce cas partiindior, il sera plus simple de déterminer cette di« •" itctioQ par le signe de la force, en regardant comme imîtives les forces qui agissent dans un sens, et OMBune négatives celles qui agissent dans le sens apposé.

An reste, le cas des forces parallèles sera le sevl où nous considérerons des forces positives et des forces nje^tiTes ; dans tons les autres cas, les quantités qui rqirésenteront les grandeurs des forces , dans le calcul, seront positives, et la variation de signe ne tombera que sur les cosinus des angles que leurs directions font avec des axes fixes.