Ce qui précède renferme les définitions préli

i4 TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

minaires , et des détails suffisans sur la détermination des grandeurs et des directions des forces ; mais, dans cet ouvrage , j'emploierai exclusivement la méthode des infiniment petits ; c'est pourquoi il est nécessaire de rappeler, dans cette introduction , les principes de l'Analyse infinitésimale , et parmi les formules qui s'en déduisent le plus immédiatement, celles dont nous pourrons avoir besoin par la suite.

Un infiniment petit est une grandeur moindre que toute grandeur donnée de la même nature.

On est conduit nécessairement à l'idée des infiniment petits, lorsque l'on considère les variations successives d'une grandeur soumise à la loi de continuité. Ainsi , le temps croit par des degrés moindres qu'aucun intervalle qu'on puisse assigner, quelque petit qu'il soit. Les espaces parcourus par les différens points d'un corps, croissent aussi par des infiniment petits; car chaque point ne peut aller d'une position à une autre , sans traverser toutes les posi* tions intermédiaires ; et Ton ne saurait assigner aucune distance , aussi petite que l'on voudra ^ entre deux positions successives. Les infiniment petits ont donc une existence réelle, et ne sont pas seulement un moyçn d'investigation imaginé par les géomètres.

l]n infiniment petit peut être double, triple, quadruple, , d'un autre : les quantités infiniment petites ont entre elles des rapports quelconques , dont la détermination est un objet essentiel de l'Analyse infinitésimale.

Si a et 6 sont des infiniment petits , et que le rapport àe b \i a soit aussi infiniment petit, b est ce

INTRODUCTION. i5

qu on appelle un infiniment petit du second ordre. Par exemple , la corde d un arc de cercle étant supposée infiniment petite ^ le sinus verse du même arc est un infiniment petit du second ordre^ puisque le rapport du sinus verse à la corde est toujours le même que celui de la corde au diamètre, et devient , par conséquent, infiniment petit en même temps que le second rapport.

De même , b étant déjà un infiniment petit du second ordre , si Ton suppose que le rapport de c kb soit infiniment petit du premier ordre, on apellera c un infiniment petit du troisième ordre ; et ainsi de suite.

n suit de là qu'un produit composé d'un nombre n de facteurs infiniment petits du premier ordre, devra être rangé dans la classe des infiniment petits de l'ordre n.

L'aire d'une surface infiniment petite dans toutes ses dimensions est au moins un infiniment petit du second ordre; car elle est moindœ que le carré de la droite la plus longue qu'on puisse mener d'un point à un autre de son contour , laquelle droite est infiniment petite , par hypothèse. On verra de même qu'un volume dont toutes les dimensions sont infiniment petites , est au moins un infiniment petit du troisième ordre , puisqu'il est moindre que le cube de la plus longue droite menée d'un point à un autre de sa superficie.

Cela posé , le principe fondamental de l'Analyse infinitésimale consiste en ce que deux quantités finies, qui ne diffèrent l'une de l'autre que d'un

i6 TRAIT6 DE MÉCANIQUE.

infiniment petit , doivent être regardées comnie égales p puisqu'on ne saurait assigner entre elles aucune inégalité , aussi petite que Ton voudra.

Il en sera de même h, l'égard de deux quantités infiniment petites du premier ordre , dont la diffé^ rence est infiniment petite du second ordre» et, généralement, à Tégard de deux infiniment petits d'un ordre quelconque, qui ne diiEEèrent Tun de l'autre que d'un infiniment petit d'un ordre supérieur : on les considérera comme des quantités rigoureusement égales, et leur rapport, comme ^al \ l'unité.

On énonce encore ces principes d'une autre manière , en disant qu'il est permis de négliger dans un calcul , sans crainte d'altérer aucunement les résul-« tats , soit lesinfiniment petits ajoutés à des quantités finies , soit les quantités infiniment petites d'un ordre quelconque, ajoutées à des quantités d'un ordre inférieur.

i3. La différentteUe dx d'une variable indépen-» dante x^ est l'accroissement infiniment petit qu'on attribue à cette variable ; la différentielle djr d'une fonction ^ de ^ , est l'accroissement correspondant de cette fonction, réduit au même ordre de grandeur que celui de la variable indépendante , par la suppression des infiniment petits d'un ordre supérieur ; d'où il résulte que cette différentielle dy est toujours de la forme ILdx; X étant une autre fonction de a?» Pour quelques valeurs particulières de or , il peut arriver que le coefficient différentiel X devienne infini, ce qui rendra la différentielle TLdx indéterminée ;

INÏROMJCTION. 17

mftk eettô drconfituâeé ûe de préâétitett pas dam k

Soient fx XOA fôttttion dofinëe cle x 1 c une oôki»« tante arbitraire ^ et Fx -f- c l'intégrale complète ou indéfinie de fxdx. Soient encore a e\b deux con^ taotes doBoées. En déterminant la constante c de inaiiiere que cette intégrale soit nulle ou commente quand x = ^ , et faisant ensuite a: =3 5 , le résultat F^ — Ya sera ce quW appelle iMntégrale définie^ prise depuis xz=:a jusqu'à xtmb. Je là déftiguerai

par 1 fa^dx, suivani la notation trèà comnkxle qùû

Fourier a proposée ; et j'écril*ài , en conséquence ,

Si Yùù iàftmé éUCùôSdivdmeflt b « Une infiniltf de iràlêiits , troiÈ&ûïAt^ dépuié a jusqu'à b par dei dif» (efencéè infidiuiieùt petites^ et que l'on prtufie ees difféftticeâ égàlei ôti iùégâled> pour les vakfttin de dx, il e^t facile de fkii^ vo)r que la «omme da tôiileâ les valeui^ de là différentielle^eùf sera égal* k riutégrale définie F6 ^ Fâ«

£11 effet, èû ttégligéatft les iufiuifftent petits d'un Mdre supérieur âtt piremiei*^ on a, d'aptes la défini» tioti de la difféi^tttléUé ,

t(x-i-dx) — tx z=fxàx.

Si donc on représente par cT,, /. , cT, , . ^ * . V,, un nombre infini de quantités infiniment petites, telles que l'on ait

i8 TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

et que rt>n prenne successivement ^ pour x et dx , les couples de valeurs a et <r, , a4-<r, et J^,, a-{-J\-f-(r, et ^3, • . .h — cT, et J^a, il en résultera

F(a+<r.)— Fa=>r.,

F(a+cr.+j;+cr,)-F(«+J'.+«r.)=/(«+J*.+J\)/,,

équations dont la somme est

Fft — Ffl =yàJ^. 4-/(a H- <r.)cP.4-/(a + *r. + J^^y,

ce qui renferme le théorème qu'il s'agissait de démontrer.

Lorsque la fonction fx deviendra infinie entre les deux limites a et 6 , cette démonstration n'aura plus lieu> et le théorème sera en défaut. Dans ce cas d'exception y que nous ne rencontrerons pas dans la suite y l'intégrale définie n'a plus aucun rapport avec la somme des valeurs de la différentielle ^ et elle peut même être négative y lorsque toutes ces valeurs sont positives , ou positive \ quand elles sont toutes négatives. Pour faire reparaître le théorème, il faut alors empêcher que^ ne devienne infinie entre .r=:a et xz=by en faisant passer la variable x de l'une à l'autre de ces limites, par une série de valeurs imaginaires (*).

(*) J^oyez, sur ce point, le Journal de V École Polytechnique, i8* cahier, page 320.

Le théorème précédent s'étend sans difficulté aux intégrales multiples. Ainsi^ par exemple , ^^/(^ff) est une fonction donnée de deux variables indépendantes xétjr; que Ton donne successivement à ces variables des séries de valeurs croissantes par des différences infiniment petites^ et que Ton prenne en même temps pour dx^ les différences entre les valeurs consécutives de Xj et pour r/jr, celles des vaieiïrè' Consécutives de j, la somme de toutes les valeur^ de

J\Xfjr)dxdjrf sera l'intégrale 1 1 fi^, j)dxdj', prise

entre des limites convenables.

i4* Lorsque la fonction Jx renfermera unef quantité et considérée comme une constante dans Tinté^

gration , la valeur de l'intégrale / fxdx sera ellemême une fonction de ot. Il y a des questions dans lesquelles cette intégrale n'étant pas connue sous forme finie ^ on aura besoin^ néanmoins, de déterminer sa différentielle par rapport à a. Or, cette opération présentera deux cas différens , selon que les limites a éX b seront indépendantes de es , ou qu'elles en dépendront d'une manière quelconque. Dans le premier cas, il suffira de différentiery^r par rapport à tt sous le signe f ; en sorte que Ion aura

d.fjxdx ^^^^^

dx.

dm J a dct

En effet, d après le théorème du numéro précédent , le premier membre de cette équation est le coefficient différentiel par rapport à a de la somme

^o TRAITÉ DE MÉCANIQUE,

des Tâleurs de fxdx , comprises depuis x sst a jusqu'à x^xzb} tandis que son second membre est la somme des valeurs^ enti^e les ménoés limites^ au ooef-* ficient différentiel à^fxdx rdatif à a; et il est ëridefit que ces deux sommes sont ideatiques.

Dans le second câs , lorsque cl se change M tt/^\^±, la limite b devient 6 + j- ^{a ^ et pour cette raison ,

la somme des valeurs de^^^a:, ou rintégrale f fxdx se trouve augmentée de la valeur de fxdx qui répond à a:s= b etdxssz — da^c'est^t-^ire^dQfb.j'dst ;

«n même temps la limite a se change ^^^ ^ + 2^ da, ce qui diminué cette intégrale de la valeur de fx ^ correspondante h x=ia et dx ^^ -ji ^9 ^^ cle

fa. j^dcbi doùc ^ & Cause de la yàriàtioû simultàhéé

des deux limites a et b^ produite par celle de a, rintégrale se trouvera augmentée de la différenfielte

et sou coefficient différentiel par rapport à «^ de ce coefficient de dtn. Par conséquent , en l'ajoutant au second membre de l'équation précédente , on aura

pour la yalenr complète du coefficient difierootiel de

/ fxdx.

Quai^ Of o'çatf^a pas dau? Jx , que ç^tte quantité 3era Twe des ^^\k% li^lites 6 pu a ^ et que ces deux limites ne dépendront pas Tune de l'autre ^^ cette expression se réduira à

d . t fxdx d. f fxdx

Jg =/6, ou -^^i-^j-^v^Œ^ya;

ce qui est y d'ailleurs , évident en soi-même.

Des remarques semblable^ s'appliqueront aux intégrales multiples j dont les coefficiens différentiels par rapport à une quantité qu'op a d'^ord regardée comme constante^ s'obtiendront 9U3si en difierentîant sous les signes d'intégration , çt çn ajoutant au résultat des termes dépendans des variations des limites, quand elles dépendront de cette quantité devenue variable.

i5. Le calcul intégral fournit des règles pour déterminer exactement ou par approximation ^ les valeurs numériques des intégrales définies j^ simples ou multiples; en sorte qu'un problème est censé résolu j lorsqu'on est parvenu à exprimer les inconnues par des intégrales de cette nature* Oq dit alors que le problème est réduit aux quadratures^ parce que, d'une part, une intégrale multiple n'est autre chose qu'une intégrale simple plusieurs fois répétée ,

et que, d'un autre côté, une intégrale / foçdx peut

toujours être représentée par le ^ cajrré égal à Faire'

aa TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

d'une courbe plane , dans laquelle a: et ^o: sont les coordonnées d'un point quelconque , et a et 6 les abscisses des points extrêmes.

Parmi les différentes formules dont on fait usage pour calculer les valeurs approchées de cette intégrale

j fxdxy nous citerons la suivante^ qui suppose que

les fonctions y2r et -^ ne deviennent point infinies

entre les limites a et h.

Conservons toutes les notations précédentes^ et faisons de plus

S = /V. ^ = /'*. etc..

Supposons que les différences cT,, ^^j cT^^ etc., ne sont pas infiniment petites , mais seulement très petites; prenons-les égales , et représentons par ^leur grandeur commune. Nous aurons, d après le théorème de Taylor,

F (fl + SiT) =F (a +a^) + if (a +a^)+ lt'f(a + 2^ + elc ,

F(a + ni^) =F (a + /i/^— /) + if (a + ni — i)

+ î ^'Z' («+«* — *) +ctc.

Donc, en supposant n^ := b --^ a, et faisant' lu somme de ces équations, on 'aura

+ iJ^»2/'(/z+/cr)+etc.;

i étant un nombre entier ou zéro , et les caractéristiques Z indiquant des sommes qui s'étendent aux n

INTRODUCTION. - a3

ydeurs dei comprisies depuis £=0 jusqu'à i=s/i*— i: £d prenant sticcessivementyr et /*x, fx e\f^'x\ ete.-; au lieu de Fo: etfx, on aura de même

/6— /a==cr2/Ca+iJ^) + lJ^*2/'(a + i/)-f.etc., fh-^fa^ cr2/'(a+ icT) + etc., etc. .

Cela posé^ si Ton veut négliger les puissances de / supérieures au carré dans la valeur de F6 — Fa^ 00 pourra prendre , d'après les deraières ^nations ^

i«r-2/' (a + icr>= i J^(/A -/a) - icTX/'ft -/'a) ,

pour les valeurs de ses deux derniers termes. Sa va-^ leur entière deviendra donc

ouy.ce qui est la même. chose , • ' *

* Cette formule sera d^autant plus exacte^ que la diffe-

rence J^ , ou -(b — à), sera plus petite, et que-jes

valeurs de fx varieront moins rapidement entre les limites a et b. Le plus souvent on poun*a négliger le terme dépendant de J"*; la formule ne renfermera alors que des valeurs de Jx qui pourront être données en nombres, sans que la forme de cette fonction soit connue.

i6. Dans la théorie des infiniment petits, on con^

^^ TRAITÉ PB MJÈCAlîïQUE.

$idfirs i§9 courba comme 4^8 polygoo?» 4'uq oQiubrp inj^pî 4e QÔt^ infiajiifieQt p^tit^^ Cela 3^ppaw que iU corde d'un arc ÎQfiniuieqt pçtit e^t égule à cçt arç ^ Qu quq le raj^rt de leurs loqguaurs peut être pris pour Tunité ; c'est effectiveiQent ce que Toa peut démoa^ trer de la manière suivante.

Soit Mmm^M.^ (fi^. 3) un arc de courbe infiniment périt ; tirons les cordes Mm , mnH, m'M', et prolongeons la troisième, jusqu'à ce qu'elle rencontre le prolongement MT de la première , en un point K. h\tc p$m' (est pluç g]9f^ que la corde mm', et i)(iotndre qu^ la ligne brisée mfSlm'i il su$ra 4p&e de proqver qu^ çettç ligaç et cçttç CQirde, iu.fîalm^pt petites^ ne diffèrent que d'un infiniment pçtit d'un ordre 3Qpéjri«ur| et que l'on peut prendre le rapport de l'une à l'autre pour l'unîté : cela sera yral^ àjbrtiorlj à Fégard de Tare mm' et de sa corde.

Or, s'il n'y a dans l'étendue de Tare Mmm'W aucun point singulier où la direction de la courbe diange brusquement , les cordes qui vont d'un de ses points k un autre comprend^l^t "^e^ angles inlkiiRiept peu différeps de deux droits. L'angle TKM '^ supplément de MKM', sera donc infiniment petit ; je le désignerai par ^ ; et en faisant, eri outre/

mKssay m'Kzmb, mm'-^i^Çy on aura , dans le triangle mK,m% l'équation

que Ton peut changer en celle-cî :

UiTHODUGTIOK. 35

en obseirant qae

Noos aurons donc

pqqr U cwré 4» rapport de U corde mm' è I» ligne

b|i$éj9 TnKm', On a 4 ailleurs

m qtti pMnrru que le poefficient de ain* i ^ ne peat pt8 4eiTcmr infini, puisqu'il est tpujoura moindre qoe l'iinité« En négligeant l'infinimeiirt petit dn 9e<cond ordre y on aura donc Tunité pour le rapport dç e à a -4* £ ; ce qu'il s^agissait de dëmontrer.

17. Une courbe ét^mt considérée comme un poiy«gone infimtéqmal , les tangentes seront les prolongemens de ees ciAé^ infiniipent petits ; au point M , où le côté est Mm, la tangente sera la droite indéfinie

Si l'on désigne par Xy jr^ z, les trois coordonnées rectangylai|*çs du point M ^ celles dvi point m seront a: -f- da: , j" + rf/, z + dz. En appelant ds l'élément de la courbe, c'est*k^ire , son côté Mm, les différentielles dxy dy, dz, seront ses projections sur les axes des X jjf z; par conséquent, si l'on représente par «, Ç, ^, les trois angles que fait la direction de la droite MT ayec des parallèles à ces axes, menées par le point M , on aura

*^*=^5r? <=*'«^=^f' COS7:?=^, (i)

et en même temps

dx^ + djr^ + dz^ = ds^l

En prenant^ sur la courbe que Ton considère, un point fixe C, et supposant que s soit Tare CM compté de cette origine, cet arc pourra être la variable indépendante , dont Xfjr^Zf seront des fonctiotas données par les équations de la courbe. Dans ce cas, ds sera positif; mais dxy djr^ dz, et par suite cos cl , cos € , cos y, pourront être positif ou négatifs. Les angles ^f ^i yf ^^ rapporteront toujours au prolongement mT. du côté Mm, ou à la partie MmT de la tangente; les angles relatifs à Fautre partie MT' seront les supplémens de «,'ff, >, (n* 7). i -

La direction de la tangente au point M ékànt dé* terminée par les équations (i), on en peut c6n<^nre l'équation du plan normal en ce même point ; mais on obtient directement cette équation par la considération suivante.

Soit k le rayon d'une sphère qui a son centre ^u point M ; son équation sera

jc'^y, z', désignant les coordonnées courantes. L'équation de la sphère du même rayon, qui a son centre au point m, se déduira de celle-là, en y mettant x + dxpjr^djr, z^dzy à la place de x^jr, z; en retranchant ces équations Tune de l'autre , et n^ligeant les infiniment petits du second ordre, il vient

(x' — a'^dx^ (y^— 7)^ + (^' — z)dz7=rOi

équatîoD qui appartiendra a l'intersection des deux sur&ces sphérîqoes. Comme elle est l'équatioa d'un plan dont 3c\j^j s!^ sont les coordonnées courantes , ce sera celle du plan de cette courbe^ et, par conséquent , l'équation, demandée du plan normal , puisque les deux sphères se ccHipent suivant un cercle perpendiculaire à la droite TT' qui passe par leurs, centres M et m.

En la divisant .par ds^ et ayant égard aux formules (i)> cette équation devient

{af — jc)cosa-f;-(^ — j)co%Ç,^{z' — z)co%yz=zo.

Si donc .

a{x^ — x) ^- b (/^-— 7") + ^(^' — iK) = o

représente l'équation d'un plan mené par le point dont les coordonnées sont oc^ j^ js^et perpendiculaire à la droite dont la direction est déterminée par les angles a, ^9 >, il faudra qu'elle s'accorde avec la précédente \ ce qui exigera qu'on ait

az=hcosa, b = hcosQ, cz=kcosy,

h étant un facteur indéterminé. En vertu de l'équation (1) du n^ 6, on en conclura d'ailleurs

ce qui fait connaître la valeur de h, abstraction faite du signe. On aura ensuite

COS€Lz=zr, COs6=Sr, Cos 7^ = t; (2)

ce qui coindde avec les.foimules connues d'après lesquelles on détermine la direction de la perpendi-

^ TRAITÉ DE MÉGAKIQUË.

çvili^irç k up fdaa 4onp^. Le sigoe cla h reate indélerminé y p»rQ? que lçs][AiiglQ9 (* , ^, >, peuvent se rapporter k l'uQe <W à l'autre des parties de cette droitç qui sont situées dea deux eôtés dn plan.

i8^ Ou appelle angle de contingence Fangle infi» nimeut petit coiaapris entre deux tantales cooaecu^ tivea. Ainsi M/71 et rnm! (fig. 4)» étaot deux dM» consécutif de la courbe , cet angle ^ au point M, eat la aupplément de Mmm', on l'angle Tmi, sona' lequel la tangente MmT est coupée par la tangente suivante mm^t. Je le représenterai par ^; en suppo*sant que les angles ol ^ ^^ ^^ se rapportent toujours à la direction de MT, et désignant par et', C, y, ce qu'& devieçuent relativement à la direction de tat^^^ ^ura, en vertu de l'équation (2) du n* ^,

Sip^^î?;? I •^(C0^«Cp$flQ'H-C08!fc0&CnJ^C05>eQS>r')V

D'après le théorème de Tàylor» pn aura aussi

cos a' z=z cos flt-f- d* CQs a + î d^^CQS. et -f- etc. , cosC =cos^+ûf,cosÇ + ^cf'.cos^+etc, cos y = cos7^+ rf.cos y + {d* . cos 5^+ etc.

Or, si l'on substitue ces valeurs dans celles de çin* ^^ et qu'on ait égard à l'équation

cos* cp + cos* ^+ cos* > = I ,

et à sa différentielle

cos a ^.cos a+cQs ê^.cosê +COS y d.cosy = o^

on voit que les quantités finies et les infiniment pe* tits du premier ordre se détruisent; en sorte qu'en négligeant les infîninoent petits des ordres supérieurs

aa second^ il vient

sin*cf= — (cosfledT^.tcfea-f-cos^rf^.cosê-l-cos^rf^.cci^).

En dîfierentiant l'équation précédente^ on a, d'ailleurs,

cos ad*. cos CL + côs € rf*.cos^ + cos y d^.cos y + {d.tx^ à^ -f- \d. COS é)* -f-(rf. côs >)* t±= ô J

ce qui change la valeur de sin* / en celle-ci :

laquelle sera aussi la valeur de /"% à causé que Tare infiniment petit «T est égal à son sinus.

Les diâerentielles de cos«, cosb, QO%y^ se déduiront des formules (i) du numéro précédent. £n ne spmfiant pas la variable indépendante > on aura

• ^^ , ds^d^dc — dxdsà^ê

et comme on a

il en résultera

rf.tos et = '^{dfd^ôù'^dxdy)'\^^,{dzd^jt^dxd^^^^

on aura de même

d.çMQ:^^,{daidy--^drd^x)'^^{dzdy-^dj^^^^

dm dâ

d.cosy=:^{dxd^z—dzd^x) + ^X4r^^—'d^y)i or, en faisant la somme des carrés de ces trois va*

3o TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

leurs, OQ trouve y après quelques réductions, que Texpression de sin* S" ou de cT*, peut se mettre sous la forme

cr^= -TTT [ {dxdy — dyd^xY + {dzd^x — dxd^zY

+ {dfd^z — dzdyY\ •

Le cercle oscillateur est celui qui a deux côtes consécutifs communs avec la courbe. Au point M , ce cercle est donc celui qui passe par les trois points MjTn, m', dont le centre se trouve à Tinterseetion 0 des deux perpendiculaires élevées sur les milieux de Mm et mm' dans le plan de ces deux élémens consécutifs, et qui a pour rayon la droite MO. Si ces deux élémens sont supposés égaux, cette droite divisera l'angle Mmm' en deux parties égales : nous ferons cette hypothèse sans craindre d'altérer la valeur de MO ; car il est aisé de voir que le rapport numérique des deux càiés infiniment petits Mm et mm' n'influe que d'une quantité infiniment petite sur la grandeur de ce rayon qui est, par conséquent, la même, soit qu'on prenne ces deux côtés consécutifs égaux , ou qu'ils soient inégaux.

La longueur des côtés Mm étant ds, et en représentant par p celle de mO, la projection de p sur Mm sera ^ ^; en sorte que l'on aura

jds=sfcosMmO;

et puisque cet angle MmO est la moitié du supplément de S" ou égal à^TT — jj^, il en résultera

en prenant l'arc fJ^ à la place de son sinus.

Cela étant y si le rajon de courbure f était connu d'une autre manière ^ on aurait

pour la valeur de Fangle de contingence ; et rëciproqnementy d*après la valeur précédente de cT*^ celle de / sera

^ 19. Pour achever de connaître la nature intime de la courbe au point quelconque M, il faut encore déterminer son plan oscillateur, c'est-à-dire le plan des deux côt^ consécutifs Mm et mm\

Ce plan passant par le point M, on pourra représenter son équation par

ACor'— x; + B(y— ^) + C(/— z) = o;

xf^y^ z', étant les coordonnées courantes. A cause qull doit aussi passer par les points m et m\ les différentielles première et seconde de cette équation^ savoir :

A^o:' + BûTr' + Ccfe' = o, A£fjKr'+ Brf*/+ Q/V= o ,

devront être satisfaites comme l'équation même ^ en y jEsiisant x^z=^Xf y :=zjr ^ /s=z; en sorte que l'on

aura

Adx H-Brfy + Crfz=ro,

lid^x+^y+Q^z—o.

Les valeurs de A, B, C^, qui i^mplissent ces deux conditions sont ^ comme il est aisé de le vérifier^

3a TRAITÉ DE MÉCAïnQUE.

C == ïï {dotdy^ dyd^x) , Bz=î) (dzd^x—dxii^zjj A=ï) (djd^z -^ dzdy) }

D étant un facteur indéterminé. En les substituant dans l'équation du plan osculateur^ et supprimant ca facteur commun à tous ses termes^ elle devient

{:f^z) (dxdy^djrd^x) 4- {f—y) [dzd^x—dxd^z)

+ {pc' -— • x) {djrd^z-^ dsdy) aa o»

Si l'on appelle A ^ f&^ y , les angles que Êiit la normale au plan osculateur, avec des parallèles aUx axed des XyjTfZf menées par le point M > on aura^ d'àprèa les équations {pt) du n^ 17 ^

cosÂ=T(rfycf2 — dzdy),

cosft = T {dzd*x -»- dxd^z)p > (5)

(ios F fia i(ii[a?rfy — dj-d^x)i

en désignant par h^ la somme des carrés des trois numérateurs.

On déterminera aussi Pangle infiniment petit compris entre deux normales consécutives , et qui sera l'angle de deux plans osculateurs consécutifs , comme on a détei*miné tout à l'heure l'angle de deux tan* gentes. En le désignant par €^ on aura^ par un calcul semblable à celui du numéro précédent y

é*z=i(d. cos X)*+ (d. cos ft)* + (d. cos y)*.

:20. Le centre de courbure 0 se trouve à la fois sur le plan oscillateur et sur l'intersection des deux plait^

normaux consécutif; ce qui fournit le moyen de déterminer ses coordonnées d'après les équations de ces trois plans y qui sont maintenant connues. L'équation du plan normal en M étant (n^ 1 7)

celle du plan consécutif s'en déduira en y mettant X'^djCp jT'^rdjTf z+dz^ au lieu de x,^, z; par conséquent ^ la différentielle de l'équation du premier de ces deux plans, prise par rapport à x^jr^ z, savoir:

(j/ — ^)d^x + (y—jr)dy-j' {z'—z)d'zz=:ds^,

appartiendra à leur intersection.

On tire de ces deux équations

if—jr) {àjrd'x — d:rrf|r)= (^— *) (^^^^ --dzd'x) — d^dx ;

et au moyen de l'équation du plan osculateur, on en conclut

^ ^z — j^\dx{djd^z—d3^jr)

— dx{dzd^x — dxd^z)],

en désignant^ pour abréger, par f la même exprèsdon que dans le n? i8. On aura de même

y — r =:S4 [^ (dxdy—'djrd'x)

— dz(djrd^z — dzdy)"], j/— .x=-^ [ dz (dzd*x — dxd*z)

— djr(dx(fy — dj-d^x)"];

ce qui £dt connaître les trois coordonnées x\ y ^ z'^ du centre de courbure 0, et, par conséquent, le sens 1. 3

de la courbure dont le rayon osculatear ne détermine

que la grandeur.

En ajoutant les carrés de ces yaleurs de af'^x, y—jr, z^-^zy et réduisant, on a

(jr' — x)- H- (y — ^)' + (z'— z)- = p* ;

d^où il résulte que la quantité p est la distance du point 0 au point M, ou le rayon de courbure flfO, comme on le sayait déjà.

n I . Les formides des cinq numéros j^récédens ren«ferment tout ce qui est relatif à la direction et à la courbure d'une ligne quelconque , plane ou à double courbure. Relativement à utte surface qiielcoilque, on a aussi à considérer la courbure et la direction de son plan tangent; quant à sa courbure, je renverrai au Mémoire que j'ai inséré sur ce sujet dans le 21* cahier du Journal de VÈcole Polytechnique y et je ne m'occuperai ici que de ce qui concerne le plan tangent et la normale.

En un point M, dont les coordonnées sont x^y^Zj réquation du plan tangent peut être représentée par

A(x'-a:) + BO'-j) + C(z' — z)=o;

x\ y y z' , étant les coordonnées courantes. Ce plan devra aussi passer partout autre point M' de la surface, infiniment voisin de M ; il faudra donc qu'on satisfasse à cette équation , au moyen de x' = x + dx , y z=zjr '■^djr , z' z=iz^dzy OU à sa diflerentiette relative à x\y jZy en y mettant jc, j-, z, à la place de ces variables. Par conséquent, on aura

L'équation de la surface donnera

dz ^szpdx + qdjr ;

petq désignant des fonctions connues de ûCp /; z. L'équation précédente devient donc

(A +pC)da: + (B + qC)djr=:o}

et comme elle doit subsister pour toutes les directions de la droite MM', c'est-à-dire , pour tous les rapports qu'on peut établir entre djc et djj il faudra égaler séparément à zéro les coeffidens de ces différentielles ; d'où il résultera

A-+-pC = Oi B + ^s=o.

Je tire de la les valeurs de A et B, je les substitue dans réquation du plan tangent , et je supprime le frcteur commun C ; il vient

z'— z — p(x' — x) — çO"' — j) = o.

Si a, by c ^ sont les angles que fait la normale au point M, avec les prolongemens des coondonaées x^ Yf z , on aura , d'après les équations (2) du n® 1 7 ,

cos £ï =r —

cos * = — — ==L==r, ) (4)

cos c =

Le radical sera positif ou négatif dans ces trois formules, selon que la partie de la normale quon voudra considérer fera un angle c aigu ou obtus

avec la droite menée par le point M , suivant la direC'

tion des z positives.

En appelant cù lelément de la surface dont la projection sur le plan des x et jr est dxdjr^ on aura

dxdjr = =fc ûïcos c ,

selon que c sera aigu ou obtus ; car cet élément in6niment petit en tous sens ^ est compris dans le plan tangent dont l'inclinaison sur le plan des x et jr est langle c ou son supplément ; et le théorème du n^ i o convient également à la projection d'une surface plane infiniment petite. D'après cela on aura

0» = dxdj- V I + P* -f- 9* >

en regardant toujours le radical comme une quantité positive.

Soit L une fonction donnée de x,j^, z; représentons par

l'équation de lu surface que l'on considère ; en la différentiant successivement par rapport k x et kj^, on aura

dL , dL dL , dL

dbc'^P'dk^''^ d^+^Tz^""'

Je tire de là les valeurs de p et q, et je les substitue dans l'équation du plan tangent qui prend la forme

En même temps , les formules (4) deviennent cos« = V^,cos*=vg.,cosc = V^t, (5)

en faisant , pour abréger ,

:22. Je placerai ici une remarque qui sera utile pour' vérifier ou déduire les unes des autres les formules analogues qui répondent à différens axes.

Supposons que dans une question tout soit sem--^ blable à Fégard des trois axes de% coordonnées x ^ y^ z. Si l'on a une équation X es o^ relative à l'axe des a:, il en existera une serobl^Ue Y=o^ qui ré^ pondra à l'axe desjr, et une troisième^ Zsso, relative à Taxe des z.; et ces deux- autres, équations Y = o et Z = o, se déduiront de X=3Q,|)ar de simples cbaogemens de lettres. Or, voici, comment ces per^ mutations devront s'effectuer.

On mettra dans X toutes les quantités relatives k l'axe des a: , a \a place des quantités analogues qui répondent à Taxe des j^ , puis celles-rci a la place de celles qui répondent à Taxe des z^ et, enfin, ces dernières quantités à la place des premières , qui répondaient à l'axe des jc. Par cette permutation tournante y, on déduira Z,de X; par une seconde permutation de la même nature, effectuée sur Z , on obtiendra Y; et par une troisième permutation tournante, effectuée sur Y, on retrouverait X.

S'il s'agit, par exemple, des équations (3) du n^ 19, dont la première répond à Taxe des or, la seconde à l'axe des jr, et la troisième à l'axe des z , j'écrirai sur une même ligne, mais en deux parties, les coordonnées x, jp ^^^.et les angles A, f^, v , qui

leur correspondent respectivement; puis, sur une seconde ligne y je disposerai ces six quantités , aussi en deux parties, et dans un ordre différent, de sorte qu'on ait

Xf Jf ^9 >^f H'f ^;

^f ^9 Jf M, A, /A.

Cela fiiit, je remplacerai dans la première équation (3), chacune des quantité de la ligne supérieure par la quantité correspondante de la ligne inférieure; par cette permutation, h ne changera pas, et Ton obtiendra la troisième équation (S). Je met* trai de nouveau, dans cellcKâ, les quantités de la ligne inférieure à 1a plante de celles qui leur correspondent dans la ligue supérieure ; ce qui donnera la seeànde équation (3); et en opérant de même sur cette équation , on retrouvera la première équation (3) , d'où l'on est parti.

Chacune de ces opérations revient à tm changement d'axes des coordonnées, dans lequel on fstit d'abord tourner les axes des x et des ^ dans leur plan , de manière que l'axe des oc positives yienne tomber sur l'axe des ^ positives , puis celui-ci sur l'axe des a: négatives ; et où Ton hit tourner ensuite cet axe des^ positives , ainsi déplacé , et l'axe des z positives , de manière que le premier vienne tomber sur l'axe des z positives , puis celui-ci sur l'axe primitif des X positives; en sorte que, finalement, chaque axe des coordonnées positives ait pris la place d'un autre axe des coordonnées positives. C'est pour cela que les équations relatives aux trois axes des

coordonnées s^ dédiiisôi^t l'iinç de l'autre p^ de simr fies permutations de lettres ^ et sans auciin changCH ment de signe; ce qui n'aurait pas lieii ^i l'on n/d permutait pas simultanément les trois coordonnées et les quantités qui s'y rapportant de la manière qu'on yient d'indiquep.

a5. Voici encore une observation géoérale ^ par laquelle je terminerai cette introduction*

Les équations que nous aurons à considérer renfermeront des nombres abstraits , tels que le nombre tt , les logarithmes, les lignes trigonométriques, etc. ; elles contiendront, en outre^ d^autres quantités de diverses natures, qui y seront aussi représentées par des nombres exprimant leurs rapports à des unités choisies arbitrairement , pourvu que chaque unité soit îa même pour toutes les quantités d'une même espèce. Or, en changeant la grandeur d'une ou de plusieurs unités, les nombres qui expriment les quantités correspontdantes, varieront en raison inverse de cette grandeur; et, malgré ce changement, tout-à-fait arbitraire, les équations qui les renferment devront encore subsister. 11 fendra, pour eela, que leur forme remplisse certaines conditions , faciles à vérifier dans chaque cas particulier, et qu'on appelle, dans l'acception la plus* étendue , les conditions de Vhomogénéité des quanmes. Toute équation qui n'y satisfera pas sera, par cela seul, inexacte, et devra être rejetée.

Ainsi , en indiquant par F une fonction donnée , supposons qu'on ait

F(y^,y, . . . Z, /',.,, m, tn'p • • • ^, ^', • • •)=o;(a)

f,f,. • ■ désignant des forces, l,Uy. .. des lignes,. . . m , m', . . . des masses , t, t',.. . des temps. Si l'on représente par n, n', n" , n'", des nombres abstraits, et que l'on diminue à la fols l'unité de force dans le rapport de un à n , l'unité linéaire dans le rapport de un à n'y l'unité de masse dans le rapport de un s l'unité de temps dans le rapport de un à n'" , les nombres y, /',... /, l',...m, m', ... t , t',... deviendront n/, nf,... n'I, n'I',... «"/n, ri'm',.., n"'t n"'if ,.■ ., et réqoatîon (a) devra encore avoir lieu c'est-à-dire , qu'on devra encore avoir

V(jif,rif,. . . n' l,n'r, . ..n'm,n'm' ,. ..n"'t , n"'t',.. .}:=o

quels que soient n, n', b', «*. Si l'équation (a) renfermait des surfaces s, s',. . . et des volumes v, v' leurs dimensions devraient être rapportées à la même unité que les lignes 1,1',..,, et ces quantités s, s'.. V, v',.. • deviendraient conséquemmcot n''s, n'^s',., n'^v, n'^v, . . . par le changement de cette unité.

L'équation du n" 1 8 , qui donne la valeur de f , satisfait évidemment à cette condition; car vite ne renferme que des lignes Hnies ou infiniment petites p, ds, dx, dj-, dz, d'x, (/y, d^z; et quand on change l'unité linéaire et qu'on multiplie, comme on vient de le dire, chacune de ces lignes par un même nombre n\ ce nombre disparait et l'équation n'est pas changée. Celle du même numéro, d'où dépend la valeur de ^*, satisfait également à la condition de l'homogénéité, en observant que S* est un nombre abstraitqui ne change pas, non plus que celte valeur, avec la grandeur de l'unité linéaire.

IHTRODUCTION. 4i

Il sera impossible que l'équation (a) ne renferme qu'une seule quantité d'une même espèce; lorsquelle en contiendra deux , par exemple deux forces / et f, et qu'on la résoudra par rapport à l'une d'elles, ce qui donnera

il faudra, pour l'homogénéité des quantités , que / soit facteur à tous les termes de la nouvelle fonction F, OQ^ autrement dit, il faudra qu'on ait

N étant un £Eicteur qui ne contiendra aucune quantité de la nature de / et f, et ne variera plus avec l'unité de force.

Quelquefois le principe de l'homogénéité des quantités paraîtra n'avoir pas lieu , parce qu'on aura pris pour unité de force l'une des foires que l'on considère dans la question , ou bien pour unité linéaire la distance de deux des points matériels dont on s'occupe, on bien pour unité de masse celle de l'un des corps du problème, etc. Mais, alors , si l'on change arbitrairement ces unités, et que la force, la ligne, la masse, le temps, qu'on avait d'abord pris pour unités, soient maintenant exprimés par f). A, /Et ^ 0, les antres quantités de ces différentes natures qui entrent

dans l'équation {a) deviendront —,—,...-,-,

— , — ,• . . -, Tt-».; il faudra donc qu'on ait u^ M ' ê • ê *

Tiff f ' ^ « "»' ' i' \

équation qu on pourra ecnre ainsi

et qui devra maintenant satisfaire à la condition de rhomogénéité : F, indique ici une fonction qui se déduira, dans chaque cas, de la fonction donnée F.

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