LIVRE PREMIER

STATIQUE

CHAPITRE PREMIER- DE LA COMPOSITION ET BE L^EQUILIBBE BES FORGES APPLIQUEES A VN MÊME POINT.

24' Lorsqu'un point matériel est soumis à Taction simultanée de plu$ieurs forces qui ne se font pas équilibre, il se liieut suivant une direction déterminée; et l'on peut attribuer le mouvement qu'il prend à nne force unique agissant suiyant cette direction. Cette force est ce qu'on appelle la résultante des forces qui ont mis le mobile en mouvement, et cellesci sont noAimées les composantes de la première. Appliquée en sens contraire de sa direction, la résultante &it équilibre aux composantes , puisqu'elle tend à îm<^ primer au mobile un mouvement égal et contraire à celui qu'il recevrait de l'action simultanée des composantes, et qu'il n'y a pas de raison, par conséquent, pour qu'il se meuve [Jutôt d'un côté que de l'autre.

Si toutes les composantes sont dirigées suivant une

même droite, et agissent dans le même sens, il suit de la notion que nous avons donnée de la mesure des forces fn" 5), que la résultante sera égale à leur somme. Si le mobile est sollicité par deux forces directement contraires, on décomposera la plus grande en deux autres, dont lune, égale à la^plus petite, . sera détruite par cellen^i , et dont lautre , égale à Fexcès de la plus grande sur la plus petite, sera la résultante. On conclut de ces deux propositions que s'il y a un nombre quelconque de composantes , dirigées ^ en partie suivant une droite, et en partie suivant son prolongement, la résultante sera égale à la somme de celles qui agissent dans un même sens , moins la somme de celles qui agissent en sens contraire, et qu'elle agira dans le sens de la plus grande somme. Quand les deux sommes seront égales, la résultante sera nulle, et les forces données se feront équilibre.

25. n y a un autre cas dans lequel on détermine aussi très aisément la grandeur et la direction de la résultante.

Soient MA , MB, MC (fig. 5), les directions de trois forces égales appliquées au point M ; supposons ces forces comprises dans un même plan , et les trois angles AMB, BMC, CM A, égaux entre eux, ou chacim à lao^; le point M demeurera en équilibre; car il n'y aurait pas de raison pour qu'il sortit du plan des trois forces, ni pour qu'il se mit en mouvement plutôt dans l'un que dans l'autre de ces trois angles. Chacune des trois forces sera donc égale et contraire à la résultante des deux autres. Or, si l'on prend sur les directions MA et MB de deux d'entre elles des lignes

égales MG et M H , pour représenter leurs intensités , et qu'on achève le losange GMHK, la diagonale MK tombera sur le prolongement MD de MC; l'angle M GK sera de 60% comme chacun des deux autres angles du même triangle ^ qui sera équilatéral; on aura donc MK= MG; par conséquent la diagonale MK du losange construit sur les deux forces MG et MH représente, en grandeur et en direction^ la résultante de œs deux forces.

Cette proposition est comprise dans une autre que nous allons d'abord démontrer dans le cas de deux forces égales, dont les directions font un angle quelconque, et que nous étendrons ensuite à des forces inégales.

26. La résultante do deux forces égales coupe ton* jours en deux parties égales l'angle compris entre leurs directions; car il n'y aurait pas de raison pour qu'elle se rapprochât davantage de l'une de ces deux forces^ ni pour que sa direction s'écartât de leur plan plutôt d'un côté que de l'autre ; sa direction est donc connue, et nous n'aurons que sa grandeur à déterminer.

Soient, pour y parvenir, MA et MB (fig. 6) les

directions des composantes dont la valeur commune

sera représentée par P. Soient aussi 2a: Tangle AMB,

etMD la direction de la résultante, de sorte qu'on

ait AMD =BMD =0*. Son intensité ne peut dépendre

que des quantités P et x; en la désignant donc par R,

nous aurons

Dans cette équation , R et P sont les seules quantités dont l'expression numérique varie avec l'unité de force; d'après le principe de rhomogénéité des quan-

titës (q* 25), il fiaiit donc que la fonction f[V,x)

soit de la forme Pf x. Ainsi l'on a

R=P(par;

et la question se réduit à déterminer la forme de la fonction ^x*

Pour cela, je mène arbitrairement parle point M les quatre lignes MA', MA% M B', MB' ; je suppose les quatre angles A'MA, A'MA, BIVfB, B'MB, égaux entre eux , et je représente chacun d'eux par z. Je décompose la force P dirigée suivant MA , en deux forces égales dirigées suivant MA' et MA'^ c'est-à-<lire que je regarde la force P comme la résultante de deux forces égales dont la valeur est inconnue et qui agissent suivant MA' et MA'; en désignant cette valeur par Q , j'aurai

P = Q(pz;

car 3 doit exister entre les quantités P, Q, ^,la même relation qu'entre les quantités R ^ P^ ^. Je décompose de même la force P dirigée suivant MB, en deux forces Q, dirigées suivant MB' et MB'; de cette manière , les deux forces P se trouvent remplacées par les quatre forces Q ; par conséquent , la résultante de celles-ci devra coïncider, en grandeur et en direction, avec la force R, résultante des deux forces P.

Or, en appelant Q' la résultante des deux forces Q, dirigées suivant MA' et MB', et observant que A'MD=B'MD=x — z, cette force Q' sera dirigée suivant MD, et l'on aura

De même , la résiiltante des deax autres forces Q sera encore dirigée suivant MD, puisque cette droite coupe aussi Fangle A'MB' en deux parties égales; et àcanse de A'MDs=B'1MD = ar-f-2» on aura

Q* désignant cette seconde résultante. Les deux forces Q' et Q^ étant dirigées suivant la même droite MD^ leur résultante, qui est aussi celle des quatre forces Q, sera donc égale à leur somme; par conséquent, on doit avoir

Biais on a déjà

et en substituant cette valeur de R. et celles de Q' et Q'' dans l'équation précédente, et supprimant le facteur Q commun à tous les termes , il vient

(poc^z = ^ (jr -f- z) + ^ (x — z). (i)

Cest cette équation qui nous reste à résoudre pour en déduire i expression de (px.

2j. On voit d'abord qu'on y satis£dt en prenant

^a: = 2 cos ax ;

a étant une constante arbitraire , de sorte qu on ait , en même temps ,

(pz = a cos az , ^{x + z) = acos a{x + z) , ^{x — z) îs= !icosa{x — z) ;

et; effectivement, si l'on substitue ces valeurs dans

réquation (i)^ on obtient l'équation connue

2 cos oûc cos az = cos £ï (x + z) + cos a {oc — z).

Or^ je dis que cette expression de la fonction ^x est la seule qui satisfasse à l'équation (i), et que de plus, dans la question qui nous occupe, la constante a est l'unité ; en sorte que Ton a

^jr = :2 cos X. (2)

Cela est évident quand jr = o ; car alors les directions des deux forces F coïncident, et la résultante R est égale à 2P , ce qui suppose ^x:=^ 2. Admettons qu'il y ait une autre valeur <t de a:, pour laquelle on ait aussi (pcLz=2 cos a; je dis que Téqua-» tion (2) subsistera également pour toutes les va-* leurs 2a, 3a, 4^, ..«., ^a, ^<t, |fl&,..., de x, et généralement pour

met ,%

m et 72 étant des nombres entiers quelconques.

: En effet, si Téquation {2) se vérifie pour les trois

angles a: , z, a: — z, de manière qu'on ait

^x=2C0&r, (pz=2C0sz, (p(jc — z) = 2COs(j:— z),

elle aura encore lieu pour un quatrième angle jr-|-z; car, en vertu de l'équation (i), on aura alors

^ (x -f- z) = 4 cos X cos z — 2 cos (x — z} ; équation qui se réduit à

^ (x + z) = 2 cos («r -f- z).

Ainsi l'équation (2) ayant lieu pour a:= o et x=z a.

il s'ensuit qu elle subsiste pour a:=z 2a; ayant lieu pour a:==a et ar=30ty elle subsistera pour j^=3a; et, en continantde même, on verra qu'elle aura lieu pour oc = ma.

Je fais maintenant ma = ^; on aura donc

et de là on conclura que l'équation (2) aura encore lieu pour a: = j 5 ; car en faisant xc=iz = ^6, l'équation (i) deviendra

doù Ton tire

En faisant ensuite a: = z =~€, on aura, d'après réqoation (i) et cette dernière ,

(^l€y=^ 2COSjS + 2, (p^e=:2C0s^ff; et, en continuant ainsi, lequation (2) sera démontree pour or = — , c'est-à-dire, pour toutes les valeurs de a: comprises dans la formule (5).

Or , les nombres m et n étant aussi grands qu'on voudra, et pouvant même devenir infinis, on peut £dre croître ces valeurs de x par degrés infiniment petits.La formule (3) comprend donc toutes les valeurs possibles de l'angle a*, et l'équation (2) est complètement démontrée, si toutefois elle est vraie pour une valeur particulière a: = ce , différente de zéro. Mais , d'après le théorème du n** 25 , la résultante R est égale à P , dans le cas de .r = 60^ ; on a donc

5o TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

alors

^^ = ï =r 2 oos 60** }

donc réquation (2) a Keù pour a: = 60% et confséquemment pour toutes les valeurs de a:. 28. Au moyen de cette équation , on dura

R = 2P cos X.

Si donc la résultante R et les deux condpo^ntes P sont représentées^ comme dans le n^ 25, pstr des droites prises sur leurs directions respectives, à partir de leur point d'application ^ là force R sera le double de la projection de P sur sa direction , ou égale à la diagonale du losange construit sur les deux forces P.

Soient maintenant deujt forces inégales P et Q ^ appliquées au point M ( fig. 7 ) suivant les diredioiis MA et MB; représentons leurs intensités par les lignes MG et MH^ prises sur leurs directions, et àchevotis le parallélogramme MGKH : il y ànrà deux cas à considérer, le premier où Tangle AMB sera droite le second où il sera aigu ou obtus.

Dans le premier cas, tirons les deux diagonales MK et 6H qui se coupent au point L ; par les points G et H , menons les parallèles GN et HO à ML , qui rencontrent en N et 0 la parallèle à GH , menée par le point M. Le point L est le milieu de MK et de GH; et comme, dans un rectangle, les deux diagonales sont égales , il s'ensuit qu'on a

GLr=LH»LM.

Les deux parallélogrammes GLMN et HLMO sont

donc des losanges; par conséquent, diaprés la proposition précédente , la force MG pourra être regardée comme la résultante des deux forces MN et ML , et la force MH comme la résultante de MO et ML. Donc , en substituant aux deux forces données leurs composantes , nous aurons , au lieu de MH et MG , les deux forces MN et MO, qui se détruisent, puisqu'elles sont égales et contraires, et les deux forces ML, qui s'ajoutent et donnent une résultante représenta en grandeur et en direction par la diagonale MK.

Bans le second cas, menons par les points G et H (fig. 8) les perpendiculaires GE et HF à la diagonale MK, et les parallèles GN et HO à cette même droite ; par le point M , menons aussi la perpendiculaire NMO à cette droite MK. Les deux parallélogrammes GEMN et HFMO seront des rectangles qui auront leurs côtés MIN et MO égaux, comme étant les hauteurs des deux triangles égaux GMK et HMK. Diaprés le premier cas, on pourra remplacer les forces HG et MH par leurs composantes rectangulaires ME et MN , MF et MO; au lieu des deux forces données, on aura donc les deux forces MN et MO, qui se dé'truiront , comme étant égales et contraires , et les deux forces ME et MF de même direction , qui s'ajouteront et donneront, à cause de M£ = FK, une résultante représentée en grandeur et en direction par la diagonale MK.

Concluons donc que la résultante de deux forces quelconques, appliquées en un même point et représentées par des lignes prises sur leurs directions à

partir de ce points est représentée^ en grandeur et en direction , par la diagonale du parallélogramme construit sur les deux forces données.

:2g. Voici les conséquences qui se déduisent le plus immédiatement de ce théorème.

On voit d'abord que toutes les questions qu'on peut proposer sur la composition de deux forces en une seule et sur la décomposition d'une force en deux autres, sont ramenées à la résolution d'un triangle. En effet , les grandeurs de la résultante et des deux composantes sont représentées par les trois côtés MK^ MG , GK, du triangle MGK; et les trois angles de ce triangle sont ceux que fait la résultante avec chacune des composantes et le supplément de l'angle compris entre les deux composantes. Il s'ensuit donc que trois de ces six choses , les trois forces et les trois angles compris entre leurs directions , étant données, on trouvera les trois autres en résolvant le triangle MGK ; ce qui suppose une force au moins au nombre des données. Par exemple, soient F et Q les valeurs des deux composantes , et m l'angle compris entre leurs directions ; on demande leur résultante R et l'angle a: qu'elle fait avec la force F. On aura d'abord l'équation

R* = P»+Q*+2PQcosm,

pour déterminer la valeur de R; et celle de a: se déduira de cette proportion :

sin .r : sin m :: Q : R.

Si l'équilibre a lieu entre trois forces F, Q, S, ap-

pliqaées en an même point M (fig. g), suivant les directions MA^ MB^ MC^ il faut que chacune de ces forces soit égale et directement opposée à la résul-^ tante des deux autres; et comme cette résultante est comprise dans le plan de ces deux forces , il s'ensuit d'abord que les trois forces données doivent aussi être dans un même plan. Soit MD le prolongement de MC ; la résultante de P et Q sera dirigée suivant MD, et si on la représente par R, on aura R = S. D ailleurs , en comparant la force R à chacune de ses composantes, on a, d'après ce qu'on vient de dire,

R : Q :: sin ÂME : sin AMD,

R : P :: sin AME : sin BMD;

à cause de

sinAMD = sinAMC, sin BMD = sin EMC, il en résultera donc

S : Q : P :: sin AME : sin AMC : sin BMC;

ce qui montre que quand trois forces sont en équilibre autour d'un même point , la grandeur de chacune d'elles peut être représentée par le sinus de l'angle compris entre les directions des deux autres.

Du point 0, pris sur la direction de la résultante R ou sur son prolongement , j'abaisse des perpendiculaires 0£ et OF sur les directions des composantes F et Q; on aura

OE = MO sin AMD , OF = MO sin BMD. Si donc on multiplie par MO les deux derniers

54 TRAITÉ DE MÉCAMyUE.

termes de la proporlioo

P : Q :: sin BMD : sio AMD,

il en résultera