P : Q :: OF : OE

en sorte que les composantes sont en raison inverse des perpendiculaires abaissées sur leurs directions, d'un point quelconque appartenant k la direction de la résultante. Réciproquement, si les composantes P et Q sont en raison inverse des perpendiculaires OE et OF, abaissées sur leurs directions, d'un point O pris dans leur plan, ce point appartiendra à la direction de la résultante; car, en divisant par MO les deux derniers termes de la dernière proportion, on obtient la précédente, qui détermine cette direction.

3o. La résultante de deux forces étant connue , il est aisé d'en déduire celle d'un nombre quelconque de forces appliquées à un même point et silnées ou non situées dans un même plan. On prendra d'abord ta résultante de deux de ces foi'Ces; ensuite, on composera cette résultante avec une troisième force, ce qui donnera une seconde résultante, que l'on composera de même avec une quatrième force; et l'on continuera de même jusqu'à ce qu'on ait épuisé toutes les forces données. Dans cette couslrucllon , il est aisé de voir que si les grandeurs de toutes les forces sont représentées par les côlés d'une portion de polygonesparallèles à leurs directions et tracés dans le sens de leurs actions, la résultante sera représentée, en gra»^

jl

deuret en direction^ par la droite qui joindra ^s deux extrémités de cette ligne brisée et fermera le polygone. L'ordre dans lequel les côtés parallèles aux forces se succéderont sera indifférent. Quand le polygone se fermer^ de )ui-»même^ la réaulUnte sera Bidie^ et les forces données se fer<mt équilibre.

U suit de là que quand les foroes données sout m umçhr^ de trois ^ opn situées dans un marne plan , lenr jnéraltante est , en grandeur et eu direction , k diagoioale do p^urallélépipède dont ces trois forces sont les p6téa adjaceos,

5f ^ On p«ut effectuer d'ufie manière plus simple oette réduction d'un nombre quelconque de forces à une seule ^ ^n considérant d'abord le cas particulier de trois forées roclangulaires , auqudi on ramène ensuite le cas général.

Soient X^ Y^ Z^ les trois composantes^ R leur résahaflate^ a, b,€,\es angles qu'elle fait avec X^ Y^ Z. D après ce qu'on vient de voir , R est la diagonale du parallélépipède dont X ^ Y, Z , sont les trois côtés adjacens ; or^ ce parallélépipède étant rectangle , il fl^ensuit qu'on aura

R* = X*-|-Y*4.ZV (a)

B s'ensuit aussi que si l'on joint l'extrémité de la dia^ gonale R à celles des trois côtés X , Y, Z ^ on forw œera tms triangles rectangles , dont R sera Fh^rpo*' lénuse commune ; d'où l'on conclura

X = R cos a ^ Y = R cos i , Z = R cos c ; (b)

équations qui s'accordent avec la précédente , à cause

que les trois angles a, b, c , sont liés entre eux pai* cette équation (n** 6)

cos* a + cos* b 4- cos* c =s i .

Lorsque les composantes X ^ Y^ Z , seront données , l'équation (a) fera connaître la valeur de la résultante , et les équations (b) en détermineront la direction au moyen des trois angles a, b, c; si; an contraire, la force R est donnée, et qu'il s'agisse de la décomposer en trois forces rectangulaires X; Y, Z y qui fassent avec elle des angles donnés a, b, c, les valeurs des forces demandées seront immàliat^ment déterminées par les équations (b).

Si Tune des composantes, la force Z par exemple, est nulle, R n'est plus la résultante que des deux forces X et Y ; elle est comprise dans leur plan , et sa direction dépend seulement des deux angles a et b. Ces angles et la valeur de R sont alors déteroiîa& par les équations

Il» = X*H-Y% X==Rcosa, Y=R cos*.

52. Supposons actuellement que M (fig, i'*).soit le point d'application d'un nombre quelconque de forces données. Représentons ces forces par P, P', F', etc. ; et, pour fixer les idées, supposons que là droite MD soit la direction de la force P. Les directions des autres forces sont inutiles à indiquer dans la figure. Soient ct^ €, y, les angles que fait la direc^ tion M D avec les trois axes rectangulaires MA , MB , MC, menés arbitrairement par le point M. Désignons de même par af, €', y', les angles que fait la force P^

avec ces mêmes axes; par a' ^ C, y', ceux qui répondent à la force P; etc. Tous ces angles sont domiës et doivent s'étendre depuis zéro jusqu'à 1 8o* (n* 7) , afin que les forces P , P', P^, etc. , paissent avoir toutes les positions possibles autour du point M.

Décomposons chacune de ces forces en trois autres dirigées suivant les axes MA , M6^ MC.Les composantes de la force P seront P cos dL, P cos €, P cos y ; celles^ de la force P' seront P'cosa', P'cosfi*, P'cosj^'; etc.; et ces composantes ' agiront suivant les axes ou suivant leurs prolongemens^ selon qu'elles seront positives ou négatives. Par exemple, la direction MD tombant , ainsi que l'axe MC , au-dessus du plan AMB des deux autres axes , la composante P cos y de la force P tend à élever le point M, c'est-à-dire qu'elle agit suivant MC; et, dans ce cas, P cos y est une quantité positive, puisqu'on a 7 < 90**. Au contraire, si cette direction MD tombait audessous du plan AMB, on aurait y >* 90^; la composante P cos y serait négative , et , en même temps^ elle tendrait à abaisser le point M, c^est-à-dire qu'elle agirait suivant le prolongement de MC. En ayant donc égard aux signes des composantes, on voit, d après ce qu'on a dit dans le n"* 24, que toutes les forces dirigées suivant un même axe et son prolongement se réduisent à une seule , égale à leur somme.

De cette manière , les ftirces données P, P', F', etc., seront remplacées par trois forces rectangulaires ; et en désignant celles-ci par X, Y, Z, on aura

Xs=Pcosa-|-P'cosot'-|-F'cosa"-}-etc. , )

Y = Pcosff4-Fcosff'+P"cos€'' + etc., > (c)

Z=Pcos> + Fcos/4-P"cosy'H-etc. )

Les valeurs de X^ Y, Z, pourront être positives ou négatives^ et leurs signes feront connaître le sens de leur action* Si la force X est positive^ c'est qu'dle agit suivant l'axe MA ou dans le sens des composantes Pcosa, P'cosa^y etc., qui sont positives; si elle est négative , il en faut conclure qu'elle agit sui* vaut le pro>longement de MA ou dans le sens des composantes négatives ; et de même pour les forces Y et Z.

Cela posé, soit R la résultante des forces données P, P', P", etc., ou des trois forces X, Y, Z; soient aussi af b,Cf\es angles que sa direction inconnue fait avec les axes MA , MB , MC. Les valeurs de R , a , b, c, seront données par les équations (a) et {b), dans lesquelles on mettra les formules (c) à la place de X, Y, Z. Les angles a, b, c, pourront être aigus ou obtus ; à pause que la force R doit toujours être une quantité positive, les signes de leurs cosinus seront les mêm^ que ceux des quantités X , Y, Z , en vertu des équations (b). De cette manière , la force R sera complètement déterminée en grandeur et en direction.

33. La grandeur de la résultante R ne saur^t dépendre de la direction arbit^raire des axes MA ^ MB , MC ; elle dépend seulement de la grandeur des forces données et des angles compris enti^ leurs directions ; e^i en effet, on en peut trouver une expression qui ne contienne que ces quantités.

Pour cela , daignons par FMP', PMF', FMP", etc., les angles compris entre les directions des forces P et F, P et F", P' et P", etc. D'après réquation (a) da n* g, nous anronç

cos PMP' ^=iCOsacosa''^cqs€cosS'4'CMycos y,

cosPB(F^=; cos « cos ^'-f- cos ^cos ff'^j^ cos 7^ cos y",

cosFMP^sss cos flt'cos a"-j-cos ff'cos ^'+ cos y'cos y", etc.

Noos aurons aussi

ÇpS^ « -f- cos' ê 4- cos' > yes: | ^

cos*flt'+ COS* ^'-hcos' y == I ,

cos' it"+ cos' ff'+ cos' >"==: I ,

etc.;

et, cela étant, si Ton ajoute les earrës des formules (c), et qu'on ait égard à l'équation (a) , il vient

R'= P' + F' + P"-f- etc.

aPF cos PMP' + aPF' cosP MF' aPTTcos PlUP^'+etc,

pour le carré de 1# valeur d^ R dont il ç'agit.

34* On déduit aussi df s ^quntioos (b) et (c) une propriété de la résiiltimte , qui npus sera utile dans un des numéros suivans.

Dans une direction quelconque^ je rpèue par le point M une droite, dont j'appelle 0 Fautre extrémité. Soient^, h^ k, les angles ÂMO, BjUO,. CMQ, que cette droite fait avec les trois axes MA, MB^, MC. Désignons par RMO, PMO, P'MO, etc., les a»-

6o TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

gles compris entre cette même droite MO et lès directions des forces R^ P^ P^, P''^ etc. ; on anra^ comme tout à Fhenre,

cosRMO = cos g cos a -}- cos A cos b + cos k cosc, cosPMO = cos g cos a •+- cos A cos '^ + cos k cos 5^,

cos P'MO = cos g cos a'+ cos h cos S'-f" ^^^ A:* cos y\ etc.

D après la première de ces formules et les équations (Jb)y on aura

R cos RMO s=Xcosg-|-YcosA + ZcosA:;

et, en vertu des formules suivantes , si Ton ajoute les équations (c) après les avoir multipliées, la première par cos g, la deuxième par cos h, la troisième par cos Al, il en résultera

RcosRM0 = PcosPM04-FcosP'M0 + etc.;

ce qui montre déjà que la composante de la résultante R, suivant une direction quelconque MO, est égale à la somme des composantes de P, P', V, etc., suivant cette même direction.

Cela posé, je projette la droite MO sur -les di-' rections des forces R, P, P, F', etc. } j'appelle r, p, p', //', etc., ses projections, de sorte qu'on ait

r= MO cos RMO,

/> = MOcosPMO, y5=M0cosFM0, etc.,

en considérant chacune des quantités r, p, pf, p", etc., comme positive ou comme négative, selon que la projection qu'elle représente tombe sur

STATIQUE, PREMIÈRE PARTIE. 6i

la directioa même de la force ou sur son prolongement. Sî donc on multiplie par MO l'équation précédente 9 on aura

Rr = P/i + Py + Py + etc. j (d)

ce qui renferme la propriété de la résultante qu'il s agissait de démontrer.

55. Pour que les forces P, F, P", etc. , soient en équilibre, il suffit que leur résultante R soit nulle, et cette condition est nécessaire si leur point d'application M est entièrement libre; mais l'équation R = o, ou

ne peut avoir lieu, à moins qu'on n'ait séparément

X=:o, Y = o, Z = o, c est-à-dire , en vertu des équations (c) ,

Pcosa+Fcosa'4-P"cosa"Hhetc. = o, ) Pcose+P'cos€'4-P"cosC'4-elc. = o, > (e) Pcos> + Fcos/ + P"cosy'-}-etc. = o. )

Telles sont donc les équations déqidUbre d'un point matériel qu'on suppose entièrement libre. Dans cet état, chacune des forces qui le sollicitent doit être égale et directement contraire à la résultante de toutes les autres ; c'est , en effet , ce qu'il est aisé de vérifier.

Soit R' la résultante des forces P', F', etc. Appelons a', b\ c\ les angles qu elle fait avec les axes MA, MB, MC, et faisons, pour abréger.

6î TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

X' = Fcosa'+P''cosa'' + etc., r=Fcose' + P"cos^'4-etc., Z' =Fcos/4-F'cos y'+ etc. ;

nous aurons y d'après le n* 32, X' = R' cos a!. Y' = R' cos h\ TJ — R' cos c\

et par conséquent, en vertu des équations d'équilibre,

P cos «t =5 — R' cos d^ P cos ^ = — R' cos h\ P cos 7= — R'cos c'.

En ajoutant ces équations , après avoir élevé leurs deux membres au carré , on a

à cause de ( n** 6 )

cos* a 4- cos* ^ -|- cos* 3^ =: i , cos* a'«+: cos* V + cos* c'= i ;

on aura donc P =t =t R'; mais comme ces forces doi* vent être toutes deux des quantités positives , il faut prendre P = R'. Les équations précédentes deviennent alors

cosass— cosa', cos^=— cosô', cos 3^ = -« cos c'j

par conséquent, les angles et, ^,3^, sont supplémens de dj b', c'y et répondent à une force dont la direction est le prolongement de la force R' ( n* 7 ). n s'ensuit donc que la force P est égale et directement opposée à la résultante R' de toutes les autres forces P', F', etc. ; ce qu'il s'agissait de vérifier.

56. Si le point M^ auc)[iiel sont appliquées les forces Py P', F'^ etc. , est assujetti à rester sur une surface donnée, il ne sera plus nécessaire, pour l'équilibre, que leur résultante soit nulle; il suffira qu'elle soit normale à la surface, puisqu'alors elle ne pourra faire glisser le point M dans aucun sens sur cette sur&cc; et, de plus, cette jDonditîon sera nécessaire; car si elle n'était pas remplie, la rësul«tante se décomposerait en deux forces, l'une normale à la surface et qui serait détruite, l'autre tangente et que rien n'empêcherait de faire glisser le mobile* On n aurait donc qu'à chercher, dans chaque cas, li direction de la résultante des forces P, P', F', etc. , et a examiner si elle est perpendiculaii^ k la sur&ce donnée, pour savoir si l'équilibre existera; mais il vaut mieux , comme nous venons de le faire pour un point libre , exprimer les conditions de l'équilibre par des équations entre les données de la question.

Or, ht composante normale de chacune des forcesqui agissent sur le point M est détruite par la résistance de la sur&ce ; par conséquent, cette résistance équivaut à une force égale et contraire à la totalité des forces détruites. On conçoit donc que l'on peut faire abstraction de la surface donnée , et considérer le point matériel comme entièrement libre , pourvu que l'on joigne aux forces données P, P', P", etc. , une nouvelle force de grandeur inconnue et perpendiculaire à cette surface.

Soient donc N cette force , et A , jlc , r , les anglesf que sa direction fait avec les axes MA , MB , MC; chacune des équations d'équilibre qu'on vient de trouver

sera augmentée d'un nouveau terme, de sorte qu'aulieu des équations (e) , on aura

NcosX+Pcosci-f-P'cosa'+P"cosa"+etc.=o,| Ncosft+Pcos e+P'cosff'-f P"cose'4- etc.=o, ' (/) Ncos»'+Pcos>H-P'cosy4-P"cosy-|-etc.=o.|

Je désigne par ;r , ^, 2, les trois coordonnées de M rapportées à des axes parallèles à MA , MB , MC , et par L = o réquation de la surface donnée ; la direction de la force N étant, par hypothèse, celle de la normale au point M, on aura, d'après les équations (5) duno^ii,

. •** dL •** dL «7> dL

cos A == V -r , cos u = V ^r- • cos y = V -=- ,

dx ' ^ dy d% '

en faisant, pour abi^ger,

Le signe de V sera inconnu , parce qu'on ne sait pas d'ayance suivant quelle partie de la normale doit être dirigée la force N; mais V disparait lorsqu'on élimine N entre les équations (/*) ; et si Ton a ^[ard aux formules (c) , on trouve

dx dj- ^ dx dz ^ ^^'

pour les deux équations nécessaires et suffisantes de l'équilibre d'un point matériel assujetti à demeurer sur une surface donnée.

57. Si la position de ce point sur cette surface n'est pas connue , les équations (g) , jointes à l'éqiiia-

lion donnée L = o, serviront à déterminer les coor^ données des différens points de cette surface , où le mobile pourra demeurer en équilibre. Lorsque sa position sera donnée, on aura seulement à vérifier si les coordonnées x^ jj z, des points d^appl^icaiion des forces données satisfont aux équations (g), Mais, dans ce cas, on aura des équations plus simples en faisant coïncider Tun des axes MA, MB, MC, le premier, par exemple, avec Tune des deux parties de la normale ; d'où il résultera

cos X = ± I , cos fl= o , cos y = o j

ce qui change les équations (/*) en celles-ci :

±N + P cos et H- F cos a' + P"cos «" + etc. = o, P cos Ç + P'cos e' + P^cos e'^-t-etc. =o, P cos 7 + P' cos y 4- P" cos y" + ^*c. = o.

Ces deux dernières équations font voir, ce qui est d'ailleurs évident, que dans le plan tangent à la surface donnée , les composantes des forces appliquées au mobile doivent se faire équilibre , comme si cette surface n'existait pas.

La résistance N, que la surface oppose aux forces P, P', P", etc., est égale et contraire à \2ipressi0n qu'elle en éprouve. En vertu des équations (f) , cette pression, dans l'état d'équilibre, est la résultante même de ces forces. Dans la pratique , il en faudra calculer la grandeur au moyen de l'équation (a) , pour savoir si la surface est capable de la supporter. Si le mobile est seulement posé sur cette surface , qui sera celle dun corps solide, il faudra, de plus, que. le sens de cette pression soit tel qu'elle appiye le mobile sur

celte surface ; condition qui ne peut être exprimée par une équation, et qu'on devra vérifier dans chaque cas, en déterminant la direction de cette force d'après les équations {b)* Cette vérification se fera plus simplement au moyen de la première des trois équations précédentes.

En effet, supposons, pour fixer les idées, que la partie de la normale avec laquelle on a fait coïncider Taxe MA , soit la partie située dans la concavité de la surface. On saura si les angles donnés et, a\ a", etc., sont aigus ou obtus ; et le signe de la scmime X des composantes dirigées suivant cette droite sera connu. La quantité N devant être positive, il faudra, dans l'équation dont il s'agit , c'est-à-dire ,

=fc:N-f-X = o,

prendre le signe -«ou le signe + devant N, selon que la somme X sera positive ou négative. Dans le premier cas , on aura cos A = — i , et la pression contraire à N sera dirigée suivant MA ; dans le second cas, on aura cosA= i, et la pression agira suivant le prolongement de cette partie déterminée de la normale.

38. Lorsque le point matériel M sur lequel agissent les foixres P , P', P", etc. , sera assujetti à rester sur deux surfaces données ou sur leur courbe d'intersection , il suffira , pour l'équilibre , que la résultante de toutes ces forces puisse se décomposer en deux forces perpendiculaires aux surfaces données , et qui seront détruites par leurs résistances. En joignant donc aux forcer P, P', P'', etc., deux forces nor^

maies a ces surfaces^ mats incoonues en grandeur, oo pourra faire abstraction des surfaces , et côlisidërer le mobile comme enttèremeilt libre.

N et N' étant donc ces nouvelles forces; f^, /jl, p , les angles qui déterminent la direction de N par rap** port aux axes MA, MB, MC, et X', fi', y', ceux qui déterminent de même la direction de N'; les équations (e) deviendront

Ncos A -f- N'cos A'+ P cos a +P'cos a'+ etc.= o, ) Ncos/u-f-N'cos/Le'-f-Pcosf+P'cosf'-f.etc.=o,> (A) Ncosy +N'cos/+Pcos7-t-P'cos>'4-etc,3=oJ

D'ailleurs, en représentant pAr x^ y^ z, lés coordonnées du point M rapportées à des axes parall^es à MA , MB, MC, et par L =±: o et L' = o , les équations des deux sur&ces données, les valeurs de eos A, oos/e, cos V, seront les mêmes que précédemment, et celles de cos A', cos fju\ cos f', s'en déduiront en y cbangeant L en L\ Si Ton substitue ces valeurs dans les trois équations (h) , et qu'on élimine ensuite N et N' entre elles ^ on aura Téquation d'équilibre à la-quelle devront satisfaire les forces données P, P', Vf etc. ; ou bien, si la position du mobile n'est pas donnée sur llbtersectîon des deux surfaces , cette équation d'équilibre, et les équations L±±?o et U=^o, détermineront ses trois coordonnées Xj y^ z.

Quand la position du mobile est domiée sur la courbe où il doit rester, on obtient immédiatement Inéquation d'équilibre des forces P , F, P^, ete. , en prenant les axes MB et MC , auxquels répotdettt les angles /Bt, f^ C, etc., i>, y^ y, etc. , dans le plan des

normales aux deux surfaces données. Le troisième axe MA tombe alors sur la tangente à leur courbe d'intersection ; il est donc perpendiculaire aux forces normales N et N',j en sorte que Ton a X = 90*, X' = 90*, et , en vertu de la première équation (h),

P cos flt H- P' cos af + P' cos et!' + etc. == o ,

pour l'équation demandée.

Cette équation exprime que la somme des composantes de P, P', P", etc., tangentes a l'intersection des deux surfaces données , est égale à zéro ; ce qui est , en effet , la condition pour que le point M ne puisse pas glisser sur cette courbe. Après s'être assuré qu'eUe est remplie , on déterminera les valeurs des forces N et N', et le sens dans lequel elles agissent , au moyen* des deux dernières équations (h). Si l'on prend ensuite des forces égales et contraires à N et N'^ et qu'on les réduise à une seule par la règle du parallélogramme des forces, celle-ci sera la résultante des forces P, F, P", etc., et fera connaître la pression exercée sur la courbe donnée^ à laquelle elle, sera perpendiculaire.

5g. Par ce qui précède , on voit que quand le mobile est astreint à demeurer sur une courbe donnée, il n'y a qu'une équation d'équilibre ; qu'il y en a deux lorsqu'il peut se mouvoir sur une surface donnée , et trois lorsqu'il est entièrement libre ; en sorte que le nombre de ces équations augmente , comme cela doit être effectivement , à mesure que les mouvemens possibles du mobile sont moins limités. Ces diverses équations peuvent être renfermées dans une

seule formule y qui devieadra^ par la suite ^ Féquation géaérale de Tëquilibre , applicable à un système ^elconque de points matériels.

Pour obtenir cette formule , supposons que le mobile soit transporté d'un point M, qu'il occupe dans sa position d'équilibre , en un autre point 0 infiniment voisin de M^ et tel que ce déplacement soit compatible avec la condition à laquelle le mobile est assujetti , s'il n'est pas entièrement libre. Désignons par ^f P j p'f P^'y etc. , les projections de la droite infiniment petite MO sur les directions des forces R , Py V\ Vf eic.f dans la première position du mobile; et considérons chacune de ces projections comme une quantité positive ou négative, selon qu'elle tombe sur la direction même de la force à laqueUe elle répond, ou sur son prolongement. Si l'onsup-K pose que la force R soit là résultante des forces P, F, P'', etc., le produit Rr sera toujours nul dans le cas de l'équilibre : il sera nul pour un point matériel entièrement libre, parce qu'alors la résultante R devra être égale à zéro ; il le sera encore pour un point as-* sujetti à demeurer sur une surface ou sur une courbe donnée , parce que , d'une part , la force R devra être dirigée suivant la normale, et que, d'un autre côté, la droite infiniment petite MO appartiendra au plan tangent ou a la tangente, ce qui rendra nulle sa pro*jection r sur la direction R. D'après l'équation {d) , qu'on a démontrée précédemment , et qui a également lieu quand la droite MO est infiniment petite , on aura donc

p^ + P'p' + py + etc. x= o , (/)

'jo TRAITÉ DE MÉGANIQUE.

toutes les fois que les forces P, P', P'j etc. , se fe«

root équilibre. Réciproquement , l'équilibre existent

quand cette équation aura lieu pour tous les déplace-

mens possibles d'un point matériel entièrement libre,

ou astreint à rester sur une surface ou sur une courbe

donnée.

On appelle vitesse virtuelle d'un point matériel en équilibre toute droite infiniment petite ^ telle que MO, qu'on pe^t lui fidre décrire , en observant les conditions fiuxqueBes il peut être assujetti; et le principe d'équilibre contenu dans l'équatiou qu'on vient d'écrire, sur lequel nous reviendrons par la suite , se nomme le princ^ des vitesses virtuelles. En l'appliquant successivement à un point matéridi ei^èrement libre , assujetti à rester sur une surface ,. astreint \ demeurer sur une courbe , on retrouvera sans difficulté les équations d'équilibre que nousavons précédemment obtenues. Chacune des équations (e) se déduira de la formule (i), en prenant pour MO le déplacement de M sur l'un des axes MA , MB, MC ; on obtiendra les équations d'équilibre qui ont lieu dans le cas d'un point assujetti à rester sur une surface donnée , en considérant ses déplaceâiens suivant deux axes tracés dans le jdian tangent; et la formule (i) fournit immédiatement l'équation d'équilibre d'un point astreint à rester sur une courbe donnée, en prenant pour MO l'é^ lément de cette courbe, et pour /i, p', /i", etc., les projections de cet élément sur les directions des forces P, P', P", etc. Les angles que ces directions font avec la tangente à la courbe étant a^

a! y a", etc, , on aura alors

;?=MOcosa, />'=MOcosa', />"=MOcosa", elc. ;

en supprimant le facteur MO commun à tous les termes de l'équation (£) ^ il en résultera

P cos a +I^cos a' + P"cos et'' -f- etc. = o ,

comme précédemment.

7a TRAITÉ DE MÉCANIQUE.