P : Q :: CH : CG

et, réciproquement^ Féquilibre existera quand cette proportion aura lieu. Par conséquent, en appelant p et q les perpenâlculaires CG et CH , l'équation d'équHibre sera

Vp = Q^.

On appelle moment cFune force par rapport à un poinij le produit de cette force par la perpendicur laire abaissée de ce point sur sa direction. Ainsi , la condition d'équilibre dans le levier consiste en ce que les momens de la puissance et de la résistance , pris par rapport au point d'appui , sont égaux ; ces deux forces tendant d'aiUeurs à faire tourner le leyier eu sens opposés.

Si l'on suppose les droites CG et CH liées invariablement au levier^ on pourra prendre G et H pour les points d'application des forces P et Q , et remplacer le levier de figure quelconque ECF par le levier coudé GCH (fig. 1 1). Les perpendiculaires CG el CH s'appellent les bras de let^ier, de la puissance et de la résistance. La condition de l'équilibre ne dépend pas de la grandeur de l'angle GCH ; et c'est aussi ce que l'on peut voir à priori.

Eu eSét , si du point C et d'un rayon CH on décrit l'arc 4^ cerdle HH^, qu'on le suppose lié invariablement au levier , et qu'on applique au point H' deux £droes égales à Q> agissant en sens contraires^ suivant les parties H^B' et H'B' de la tangente en ce point ^ il est évident qiie la force Q, dirigée sui-

vant H'B", sera détruite par la force Q dirigée suivant HB ; car ces deux forces tendent à faire tourner le système en des sens opposés, et il ny aurait pas de raison pour qu'il obéit plutôt à Tune qu'à l'autre. La seconde de ces deux forces se trouvera donc remplacée par la force Q dirigée suivant H'B', et l'angle GCH sera changé dans l'angle GCH', plus grand ou plus petit , sans que l'équilibre soif troublé.

Par ce changement, l'angle des deux bras du levier pourra devenir iSo*" ou zéro; alors le levier sera droit ; la puissance et la résistance seront des forces parallèles dirigées dans le même sens ou en sens contraires; et, pour l'équilibre, il faudra toujours que leurs intensités soient en raison inverse des longueurs de leurs bras de levier.

45. Si l'on appelle R la résultante des deux forces P et Q concourantes au point M (fîg. 1 o) , et m Vangle AMB compris entre leurs directions , on aura (n^ 29)

R» = P»+ Q*+ aPQ cosm;

et la valeur de R fera connaître la charge que le point d'appui C aura à supporter dans l'état d'équilibre. Appliquée en ce point, la force R aura pour direction la droite CD, prolongement de MC. La figure 10 suppose le point C situé entre les points d'application E et F de la puissance et de la résis* tance. Le contraire a lieu dans la figure 12; mais les raisonnemens qu'on vient de faire s'appliquent à ces deux cas : ils différent l'un de l'autre en ce que, dains le premier cas, les forces P et Q agissent de deux côtés difiei^ns du levier, et l'angle AMB est aigu, au

lieu que, dans le second cas, elles agissent d'un même côté , et l'angle AMB est obtus.

Les trois points E, F, C, restant les mêmes, si le point de concours M des trois forces P, Q, R, seloigne à Finfini, ces forces deviendront parallèles. Dans le cas de la figure 10, l'angle m devient alors infiniment petit; on a cosm = i, et conséquemment

Dans le second cas, c'est le supplément de l'angle m qui devient infiniment petit ; on a donc cos m = — I , et

en supposant P <C Q. Par conséquent, la résultante de deux forces parallèles est égale à leur somme ou à leur différence , selon que ces forces agissent dans * le même sens ou en sens opposés ; et quand leurs directions sont contraires, la résultante agit dans le sens de la plus grande. Dans ces deux cas, les composantes P et Q sont en raison inverse de leurs distances CG et CH à la résultante.

Cela étant, si l'on mène une perpendiculaire commune aux trois forces parallèles, et qu'on appelle a la partie GH de cette droite (fig. i3 et 14 J comprise entre les deux composantes P et Q , et ;r la distance CH de la résultante R à la composante Q qu'on suppose la plus grande , on aura

P : Q :: :r : « rp x,

en prenant le signe supérieur ou le signe inférieur.

selon que P et Q agiront dans le ménie sens (%• t3)

ou en sens contraires (fig. i4)« On en déduit

et^ par conséquent^

àP

ce qui fera connaître la position de la résultante, dont la valeur sera en même temps Q =b P.

44* Lorsque les forces P et Q agissent en sens contraires , et qu elles diffèrent très peu l'une de Tautre, leur résultante^ toujours dirigée dans le sens de la plus grande, se trouvera située à une très grande distance des forces données. Mais quand elles seront rigoureusement égales, cette distance deviendra infinie; ce qui signifie que deux forces égaler, parallèles et agissant en sens opposés, ne peuvent être remplacées par une seule force; et, en effet, il n'y aurait aucune raison pour que cette force unique agit plutôt dans un sens que dans l'autre.

Deux semblables forces agissant aux extrémités d'une droite GH (fig. i5), feront tourner cette ligne autour de son milieu K; effet qui, évidemment, ne saurait être produit par l'action d'une seule force. On peut les remplacer d'une infinité de manières différentes par deux autres forces qui tombent dans le même cas j car on ne changera rien à leur action en appliquant, par exemple , aux points G et H, suivant les prolongemens GE et HF de la droite GH, des forces égales et de grandeur quelconque ; or, la résultante des forces dirigées suivant GA et GE, et celle

es forces dirigées suivant HB et HF, seront encore ^ forces égales , parallèles et dirigées en sens opoêés, suivant des droites GC et HD, et ces rësulintes remplaceront les forces primitives qui agissaient ûvant GÂ et HB. Si l'on appelle P la grandeur cornmne de ces deux forces , et a leur distance mutuelle, une et l'autre de ces deux quantités changeront par opération que nous indiquons; mais leur produit àP eiàeurera constant , ainsi qu'on le prouvera tout à heure.

45. Au reste , ce cas particulier est le seul dans le- Qfil un système d'un nombre quelconque de forces y Vf Tf, etc. , comprises dans un même plan et agisi&t sur des points matériels liés entre eux d'une maière invariable , ne puisse pas se réduire à une seule irce. En effet, soit que les deux forces P et P' oonravent en un point , ou qu'elles soieqt parallèles , on % réduira à une seule force Q , par la r^le du palUélogramme des forces , ou par celle du numéro recèdent. On réduira de même h une seule force Q', etie première résultante Q et F'; puis à une seule Mce Q', la seconde résultante Q^ et P'" ; et ainsi de Dite y jusqu'à ce qu'on ait réduit toutes les forces données à deux seulement , qui se réduiront elles-mêmes

une seule force R , à mtoins qu'elles ne tombent bus le cas d'exception dont il s'agit.

Dans le cas général , cette force R est la résultante les forces données Py F, P*, etc.; et si Ton joint aux composantes une force R' égale et contraire kK, il y mra équilibre dans le système. La grandeur de R et la position dans le plan des forces données ne dé-

8o TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

pendra nullement de l'ordre dans lequel on aura pris ces forces dans les réductions successives qu'on vient d'indiquer ; car, en changeant cet ordre y si l'on parvenait à une force S différente de R en gi^ndeùr ou en direction , il faudrait que l'une de ces deux forces prise en sens contraire fit équilibre à l'autre ; ce qui serait impossible.

Pour l'équilibre des forces P, P', P*, etc. , quand elles seront appliquées à un levier situé dans leur plan, il faudra d'abord qu'elles se réduisent à une seule force ; car si elles se réduisaient à deux forces parallèles S et S' non réductibles à une seule , et que S' fut la plus rapprochée du point d'appui , on pourrait décomposer S' en deux forces Q et Q', parallèles et agissant dans le même sens, dont la première serait directement opposée à S et la seconde passerait par le point d'appui : ces deux composantes seraient l'une et l'autre moindres que S! ou S, la force Q' serait détruite , et il ne resterait qu'une force S — Q , qui ferait tourner le levier dans le sens de S. Les forces données étant réduites à une force unique R , il faudra, en outre, pour l'équilibre du levier^ que cette force vienne passer par son point d'appui. Cette condition s'exprimera par une équation , au mo/en du théorème que nous allons démontrer.

46. Considérons d'abord deux forces seulement et leur résultante. Le moment de cette résultante , par rapport à un point situé dans le plan des trois forces, sera égal à la somme ou à la différence des momens des deux composantes par rapport au même point : à la dif férence , quand le centre des momens est situé dans

STATIQUE , PREMIÈRE PARTIE. 8t

l'angle des composantes , ou , dans son oppose , au sommet; à la somme , quand ce point est hors de ces deux angles.

En effet, soient F et P' ces deux forces , MA et MA' (fig. 16 et 17) leurs directions^ Q leur résultante agissant suivant MB , C le centre des momens 9 p, f/, q, les perpendiculaires Ca, Ca\ Cb^ abaissées du point C sur la direction de F^ F', Q. Décomposons chacune de ces trois forces en deux au très , dirigées suivant la droite MC et suivant la perpendiculaire KMK' à cette droite; et considérons les composantes perpendiculaires. Oa a évidemment

cosBMK = sinBMC=.?,

en désignant par c la longueur de la droite MC ; donc

la composante de Q suivant MK sera égale à -^. De

même, les composantes de F et F' perpendiculaires

à MC seront -^ et -^. Elles agissent en sens con-

traire 9 quand la ligne MC traverse Tangle AMA^ (fig. 16), et dans le même sens, quand elle tombe hcxrs de cet angle. Or, la somme de ces composantes, dans le second cas, et lexcès de la plus grande sur la plus petite, dans le premier, doit reproduire la corn-posante de Q, puisque Q est la résultante de F et F'; en supposant la composante de F plus grande que celle de F', et supprimant le diviseur commun c, on

aura donc 1

Q9=5Fp±P>';

ce qu'il s agissait de prouver.

8a TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

Si l'on imagioe que le point C soit 6xe et que les perpendiculaires Ca, Ca', Ch, forment un système invariable, les forces P, P', Q, qui peuvent être censées agir aux extrémités a, a', h, de ces droites, ne pourront produire qu'un mouvement de rotation autour du centre des raomens. Or , l'iiispection de la figure i7, à laquelle répond le signe supérieur dans l'équation précédente, montre que quand le point C tombe bors de l'angle AMB, et de son opposé aa sommet, les trois forces P, P', Q, tendent à faire tourner leurs points d'application dans le même sens autour du point C; au contraire, lorsque ce point tombe dans l'un de ces deux angles, la figure i6, qui répond au signe inférieur, fait voir que les forces P et P' tendent à faire tourner les points a et a' en sens opposés; et Ton voit aussi que, dans ce cas, la résultante Q tend à faire tourner son point d'application dans le même sens que la composante qui a le plus grand moment. D'après cette remarque, le théorème qu'on vient de démontrer revient à dire que le moment de la résultante de deux forces est égal à la somme ou à la dift'érence des moniens de ces deux forces, selon que les composantes tendent à faire tourner leurs points d'application dans le même sens ou en sens opposés autour du centre des raomens, et que la résultante tend à faire tourner dans le sens de la composante qui a le plus grand moment.

Ce théorème ayant lieu pour des forces dont les directions Ibnl un angle quelconque, doit encore subsister lorsqu'elles deviennent parallèles; c'est effecti-

STATIQUE, PREMIÈRE PARTIE. 8a

yement une conséquence facile à déduire de la composition des forces de ce genre (n" 45).

47. L^Tantage de ce dernier énoncé est de pouvoir facilement s*étendre à un nombre quelconque de forces P, P', P*, etc., dirigées dans un même plan. En regardant le centre des momens comme un point fixe, autour duquel les forces tendent à faire tourner le système de leurs points d'application , liés entre eux d'une manière invariable, le moment de la résultante est égal à la somme des momens des forces qui tendent à faire tourner dans le même sens qu'elle, moins la somme des momens des forces qui tendent à faire tourner en sens contraire.

Pour fibcer les idées , supposons que les trois premières forces P, P', P*, tendent à faire tourner dans un même sens, et toutes les autres dans un sens opposé. Reprenons la série de réductions du n* j^5. Soient Q, la résultante deP et P', et Q' celle de Q et P% ou de P, P', P*. Soient aussi p, p% p", q, 9', les perpendiculaires abaissées du centre des momens sur les directions de P, F, P", Q, Q'; nous aurons, d'après ce qu'on vient de voir,

Q9 = P/, + py , Q Y = Q? + fp%

et , par conséquent,

QY = P/) 4- py H- y'p'.

De même, si l'on désigne par Q, la résultante de toutes les autres forces P*, P'% etc. ; par 9, la perpendiculaire abaissée du centre des momens sur sa direction ; par p^, /?'% etc., les perpendiculaires abaissées du

même point sur les directions de P"', P'% etc., on

aura aussi

Q^7^ = V'Y' + P'y^ + etc.

Or, la résultante R de toutes les forces données sera celle des deux forces Q' et Q^; si, donc, on représente par r la perpendiculaire abaissée du centre des momens sur la direction de R, et si Ton considère que ces forces Q' et Q^ tendent à faire tourner en sens opposés, on aura

selon que Q'ç' sera plus grand ou moindre que Q^^'^. Dans ]e premier cas , la force R tendra à Êiire tourner dans le même sens que la force Q', et , conséquemment, dans le même sens que les trois forces P, P', P*. Nous supposerons que ce soit ce premier cas qui ait lieu ; et en substituant pour Q'q^ et Q^y^ leurs valeurs, nous aurons alors

Rr=P/^H-Fp'+Py — PV — I^'y^ — etc.; (i)

équation qui renferme le théorème qu'on voulait dé^ montrer.

En supposant que le centre des momens soit le point d'appui du levier auquel les forces P, P', P^, etc., sont appliquées, il faudra, pour Téquilibre de ce levier, qu'on ait

Vp + Py + Vp' — V'p' — P'7?'^ — etc. = o , (2)

puisque, dans ce cas, ces forces doivent avoir une résultante qui doit passer par le point d'appui (n* 45 1, et pour laquelle on a donc r = o.

48. Oa peut rendre TéquatioD (i) plus générale , eu supposant que par des décompositions et recom-^ positions des forces P, P'^P*, etc. , on les ait transformées en d'autres forces S , S\ S% etc., dont l'ensemble soit équivalent aux forces données. En désignant par s, /, ^', etc. , les perpendiculaires abaissées du centre des momens sur les directions de S, S'^ S% etc.^ on trouvera, par le même raisonnement que dans le numéro précédent ,

S^+SV+SV+etcœPp+Py+PV*— ?•/?•— P»y^— etc., (3)

équation dans laquelle on devra prendre avec le signe +9 1^^ momens des forces S, S\ S', etc., qui tendent à faire tourner dans le même sens que P^ P', P'; et avec le signe -^ , les momens de celles qui tendent à faire tourner dans le même sens que P^'^, P'% etc.

Le cas particulier où les forces P, P', P', etc., sont irréductibles à une seule, est compris dans cette dernière équation. Soient alors S et S' deux forces égales, parallèles et non directement opposées ; et appelons h leur distance mutuelle. Si le centre des momens est situé etitre leurs directions, on aura S'^s'zrzh; elles tendront à fail^ tourner dans le même sens autour de ce point; on donnera donc le même signe à leurs momens, et il en résultera

Ss + S's^ = S/i.

Si, au contraire, le centre des momens n'est pas compris entre S et S% et qu'on suppose s >• /, on aura s — s'z=:h; ces deux forces tendront à faire tourner en sens opposés; on devra donner le signe + au nio-

ment de S et le signe — au moment de S'j et il en résultera

Par conséquent, l'équation (3) deviendra toujours SA = Pp + ry + F/ — F'p' — T'Y- — etc. .

Son second membre se composant de quantités qui sont toutes données, il en résulte que si les valeurs de S et A viennent a changer, leur produit demeurera constant, ainsi qu'on l'avait déjà dit plus haut.

On conclut aussi de cette dernière équation que, quand son second membre est nul , les forces données ne peuvent pas tomber dans le cas d'exception où elles sont irréductibles à une seule ; il s'ensuit donc que l'équation (a) exprime à la fois que les forces P, P', P^, etc., ont une résultante unique, et que cette résultante passe par le centre des momens ; par conséquent, elle est l'équation nécessaire et suffisante pour l'équilibre du levier, dont ce centre est le point d'appui. La résultante R que Ton obtiendra par la série de réductions du n® 4^ , exprimera la chaîne qu'il aura à supporter; quand elle sera nulle, les forces P, P', P^ etc. , se feront équilibre dans leur plan sans le secours de ce point fixe.

49* La condition de l'équilibre dans le levier peut aussi s'exprimer par une équation analogue à la formule (i) du n*" Sg.

Soient^ par exemple^ M, M', W (fig. i8), les points d'application des trois forces P, P', P'', qui agissent sur le levier ECF, suivant des directions MA, M'A', M^A% comprises dans son plan. Faisons tourner infir:

nîment peu ce levier autour de son point d'appui C^ de sorte que M j M', M", viennent en m, m', tvI'. D'après la définition du n* 39 , les arcs infiniment petits Mf», MW, M"m!', que Ton peut prendre pour des lignes droites, seront les vitesses virtuelles des points d'application M, M', M'^^ des trois forces que Ton cou* sidère. J'abaisse de m , m', nf, des perpendiculaires ma, m'd, nfa', sur les droites MA, M'A', M"A", ou sur leurs prolongeniens ; Ma sera la projection de M/71 sur la direction même de la force P, qui tend a faire tourner le levier dans le sens de la rotation qui a eu lieu; MV et MV seront les projections de MW et M'/n' sur les prolongemens des deux autres forces R et Vy qui tendent à le faire tourner dans le sens opposé. Pour cette raison, je considère la première de ces projections comme une quantité positive, et les deux autres comme des quantités négatives. Je représenterai ces trois quantités par 'zzr, /sr', ^'.

Cela posé, en vertu du principe des vitesses virtuelles, la somme des forces données multipliées respectivement par les projections ainsi définies des vitesses virtuelles de leurs points d application, est nulle dans le cas de l'équilibre ^ et réciproquement l'équilibre a lieu quand cette somme est zéro; en sorte que l'équation d'équilibre du levier est

P^ + PW4-P''n^' = o; (4)

et, en effet, il est aisé de vérifier qu'elle coïncide avec celle que l'on a déduite de la considération des roomens.

Pour cela, désignons par />, pyp'9 les perpendicu^

laires CG, CG% CG% abaissées du point C sur les directions des forces P, P', P'; par c, c% c% les distances CM, CM', CM', de leurs points d'application au point C; et par y, y\ y', les vitesses virtuelles Mm, M'm', MW. L'arc infiniment petit Mm se confondant avec sa tangente, les triangles Mma et CMG ont leurs côtés perpendiculaires l'un à l'autre, et sont semblables; on a donc

Ma : Mm :: CG : CM;

et à cause de

Mas=s4r, Mmsz:^, CGs=/>, CM = c, on en déduit

aura

tzar

même

en observant que ^' et mr' sont, par hypothèse, des quantités négatives. De plus, la forme du levier étant supposée invariable, les trois arcs Mm, MW, MW, décrits en même temps , répondent à un même angle ; et en les divisant par leurs rayons respectifs CM, CM', CM', on aura trois rapports égaux. En désignant par 6 la grandeur commune de ces rapports, on aura donc

et, par conséquent,

Or, si Ton substitue ces valeurs dans Tëquation (4) f et qu'on supprime ensuite le facteur 8 commun à toué ses termes y elle deviendra

ce qui est effectivement l'équation d'équilibre du levier que nous considérons. Réciproquement, si l'on multiplie cette dernière équation par 6, elle se changera dans l'équation (4)«

Le raisonnement serait évidemment le même, quels que fussent le nombre des forces données P, P^, P*, etc. , et le sens dans lequel elles tendent à faire tourner le levier.

go TRAITÉ DE MÉCANIQUE.