by'-i- c

ax'

'+ bj"-^ c.

etc.

Je substitue ces valeurs de z, z% z^', etc., dans la trot* -siraie équation (i); il vient

Rz. = (Par + P V + P V + etc.) a

+ CPr +Py + Py' +etc.)6 + (P + P' + P"+etc.)c.,

egaa-

STATIQUE , PREMIÈRE PARTIE. i o i

hon [2) 9 on peat remplacer par Ror, , Ry\ , R , les ooefficiens de a, 6 ^ c; et en supprimant ensuite le £M:tear commun R , on a

z, = aa:, + bjr, + c;

ce qui montre que le œntre des forces parallèles ap« partîent «a plan des points M, M^, M^, etc.

Lorsque tous ces points sont sur une même ligne droite 9 ce centre s'y trouve également; et il suffit de la première des équations (i) pour déterminer sa position, en prenant cette droite pour Taxe desx. Si, de plus, les forces F, F, F^ etc., sont perpendiculaires k cette droite, les momens que nous considérons actndlement se confondent arec les momens par rapport à an point , qui est ici Forigine 0 des ahscisses x, et la première équation (i) coïncide ayec l'équation (i) du n^ 47* U ^^ ^^ ^^ voir, en effet, que parmi les forces données?, P', P'', etc., celles qui tendent à faire tourner autour du point 0 dans le même sens que la résultante R, sont toutes les forces qui ont le même signe que leurs distances x, a/, j^, etc., à ce point, et que celles qui tendent à faire tourner dans le sens opposé sont les forces qui ont nn signe contraire à celui de ces mêmes distances; par cou* Kquent, les moment des premières s'ajoutent, et eenx des dernières se retranchent, conformément a l'énoncé du numéro cité.

57 • Les équations d'équilibre des forces parallèles P, F, F', etc. , se déduisent aisément de la théorie qu'on vient d'exposer.

SU n'existe aucun point fixe dans le système^ il

] oa TRAITÉ DE MÉCANIQUE,

faut y poar l'équilibre i qu'en séparant Tune de ces forces y par exemple la force P^ toutes les autres aient une résultante qui soit égale et directement opposée à P. Soit donc R' la résultante des forces P', F', etc.; puisque les forces F et R^ sont égales et dirigées en sens . contraires y elles doivent être égales et de signes différensy ou, autrement dit, on doit avoir Frf- R^= o. Mais R^ est la somme des composantes P', V, etc.; il en résulte donc, pour la première équation d'équilibre,

P + P' + P" + etc. = 0. (a)

Pour exprimer, en outre, que les forces P et R' sont directement opposées , soient a, € , y, les trois coordonnées du centre des forces parallèles F, P", etc., de manière qu'on ait

R'flt = PV + F'o:" + etc. ,

R'ff = ?y + py + etc. ,

K'y == Fz' + PV + etc.

Ce centre étant le point d'application de leur résultante R', il sera nécessaire qu'il se trouve sur la direction de la force P, pour que R' soit directement opposée à cette force , ou , ce qui revient au même , ce centre et le point d'application M de la force P doivent être sur une même parallèle à la direction commune des forces données. Si donc on prend, pour plus de simplicité , le plan des a: et jr perpendiculaire à cette direction, il faudra que ces deux points soient situés sur une même perpendiculaire k ce plan * ils auront alors la même projection sur ce

STATIQUE, PREMIÈRE PARTIE. io3

plan ; fiar conséquent , leurs coordonnées seront les mêmes parallèlement anx axes des x et jr^ de sorte que l'on aura

<x = X , C ^ jr.

Je substitue donc x et ^ à la place de «t et € dans les deux premières équations précédentes, et , à cause deR' = — P, il vient

Pjc + Fx'+PV + etc.s=o, \ ff.

pr+iy-*-p'y'+eic.=o; I ^"^

équations qui signifient que la somme des momens de toutes les forces P^ Y y P', est nulle, etc., par rapport aux plans des jc et z, et des j^ et z, parallèles à leur direction.

Ainsi, l'équilibre de ces forces exige que les équations (a) et (6) aient lieu en même temps. Réciproquement, quand ces trois équations sont satisfaites, l'équilibre existe; car si l'on considère la résultante R' de toutes ces forces moins une, on aura , en vertu de ces équations,

R'=: — P, R'(X = — Pa:, R'ff=r: — Pj,

et, par conséquent,

en sorte que cette résultante sera égale et directement opposée à la force P, qu'on avait omise. Il n'est pas nécessaire, pour cela, que les deux plans par rapport auxquels la iîomme des momens des forces données est zéro , soient perpendiculaires l'un à

fo4 TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

l'autre ; il suffit qu'ils soient parallèles à la direction de ces forces ; et Ton peut aussi s'assurer fiicilement que si cette condition est remplie par rapport k deux plans parallèles à cette direction , elle le sera également par rapport à tous les autres.

Concluons donc que pour rëqnilibre d'un système de forces parallèles , appliquées k un corps solide en* ttèrement libre, il est nécessaire et il suffit^

i"*. Que la somme de ces forces soit égale h zéro;

2^. Que la somme de leurs roomens soit nulle par rapport à deux plans quelconques parallèles à leur direction conmnune. Quand toutes les fi^rces seront comprises dans un même plan, cette seconde com^ dition sera déjà remplie par rapport à ce plan ^ et il suffira quelle le soit, en outre, par rapport à un autre plan.

58. Si l'un des points de ce corps solide est supposé fixe , il suffira , pour l'équilibre des forces parallèles , que la somme de leurs momens soit nulle par rap-* port à deux plans passant par ce point et parallèles à leur direction, et il ne sera plus nécessaire que leur résultante soit égale à zéro; car alors les distances de cette résultante à ces deux plans seront nulles : elle coïncidera donc avec leur intersection , et sera détruite par la résistance du point fixe.

Lorsque ce point sera le centre des forces parallèles, la somme des momens sera zéro par rapport à tous les plans passant par ce point ; par consé^ quent , les forces données se feront équilibre , quelle que soit leur direction commune; ce que noas sa-^ vions déjà (n* 55).

STATIQUE, PREMIÈRE PARTIE. io5

Si le corps solide est retenu par un axe fixe , autour duquel il ait setilement la liberté de tourner^ Il suffira, pour l'équilibre des forces parallèles appliquées en ses dîfférens points ^ que la somme de koTB momens soit égale à zéro, par rapport au plan mené par cet axe parallèlement à leur direction; car leur r&ultante tombant alors dans ce plan , elle y rencontrera l'axe fixe, et sera détruite par sa résistance. Lorsque Taxe fixe est lui-même parallèle aux forces données, le plan dont il s'agit est indéterminé ; la condition d'équilibre s'évanouit par conséquent; œ qui doit être , puisque des forces qui sont toutes parallèles a un axe fixe ne peuvent faire tourner un corps solide autour de cette droite , de sorte que , dans ce cas, l'équilibre a lieu indépendamment de leurs intensités et de leurs distances à cet axe.

io6 TRAITÉ DE MÉGAI^IQUE.